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第1讲数列、等差数列与等比数列(小题)

热点一等差数列、等比数列的基本运算

1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)

等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；

等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.

等差数列的求和公式：Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d；

等比数列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))

2.等差数列、等比数列问题的求解策略

(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；

(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；

(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.

例1(1)(2019·河池调研)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝54，

即a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝18,2d＝a2＋a5－(a2＋a3)＝8，所以d＝4.

(2)(2019·柳州模拟)已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上(n∈N*).数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝eq\f(Sn＋1,64)，数列{bn}的前n项和为Tn.则Tn的最小值为________.

答案－30

解析∵点(n，an)在函数y＝2x－1的图象上，

∴an＝2n－1，

∴{an}是首项为a1＝1，公比q＝2的等比数列，

∴Sn＝eq\f(1·?1－2n?,1－2)＝2n－1，

则bn＝eq\f(2n,64)＝2n－12，

∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列，

∴由bn≤0，得n≤6.

即Tn的最小值为T5＝T6＝－10×6＋eq\f(6×5×2,2)＝－30.

跟踪演练1(1)(2019·北海调研)已知等差数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，若S8＝S10，则a18等于()

A.－4B.－2C.0D.2

答案B

解析设等差数列{an}的公差为d，

由S8＝S10，得a9＋a10＝0，

所以2a1＋17d＝0，且a1＝2，

所以d＝－eq\f(4,17)，

得a18＝a1＋17d＝2＋17×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,17)))＝－2.

(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝eq\f(1,8)，S3－a1＝eq\f(3,4)，则S5等于()

A.eq\f(31,32)B.eq\f(31,16)C.eq\f(31,8)D.eq\f(31,4)

答案B

解析由正项等比数列{an}的前n项和为Sn，

a4＝eq\f(1,8)，S3－a1＝eq\f(3,4)，q0，

易知q＝1时不成立，所以q≠1.

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝\f(1,8)，,\f(a1?1－q3?,1－q)－a1＝\f(3,4)，))

解得a1＝1，q＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(27,8)，q＝－\f(1,3)舍去))，

∴S5＝eq\f(a1?1－q5?,1－q)＝eq\f(1－\f(1,32),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).

(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn0成立的n的最大值为________.

答案9

解析因为a1＝9，a5＝1，

所以公差d＝eq\f(1－9,4)＝－2，

所以Sn＝9n＋eq\f(1,2)n(n－1)(－2)＝10n－n2，

令Sn0，得0n10，

所以使得Sn0成立的n的最大值为9.

热点二等差数列、等比数列的性质

1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).

2.前n项和的性质：①对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).

②对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.

例2(1)(2019·德阳模拟)已知正项等差数列{an}的前n