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(四)概率与统计

1.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x(单位：元/月)和购买人数y(单位：万人)的关系如表：

流量包的定价(元/月)

30

35

40

45

50

购买人数(万人)

18

14

10

8

5

(1)根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；

(2)①求出y关于x的回归方程；

②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月，请用所求回归方程预测该城市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.

参考数据：eq\r(25000)≈158，eq\r(26000)≈161，eq\r(27000)≈164.

参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\r(\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2\i\su(i＝1,n,)?yi－\x\to(y)?2))，线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).

解(1)根据题意，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(30＋35＋40＋45＋50)＝40，

eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(18＋14＋10＋8＋5)＝11.

可列表如下

i

1

2

3

4

5

xi－eq\x\to(x)

－10

－5

0

5

10

yi－eq\x\to(y)

7

3

－1

－3

－6

(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))

－70

－15

0

－15

－60

根据表格和参考数据，得eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝－160，

eq\r(\i\su(i＝1,5,)?xi－\x\to(x)?2\i\su(i＝1,5,)?yi－\x\to(y)?2)＝eq\r(250×104)＝eq\r(26000)≈161.

因而相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\r(\i\su(i＝1,5,)?xi－\x\to(x)?2\i\su(i＝1,5,)?yi－\x\to(y)?2))＝eq\f(－160,161)≈－0.99.

由于|r|≈0.99很接近1，因而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.

由于r0，故其相关关系为负相关.

(2)①eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\i\su(i＝1,5,)?xi－\x\to(x)?2)＝eq\f(－160,250)＝－0.64，

eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝11＋0.64×40＝36.6，

因而y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.64x＋36.6.

②由①知，若x＝25，则eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.64×25＋36.6＝20.6，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测该城市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.

2.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)

平均每天

锻炼的时

间/分钟

[0,10)

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

总人数

20

36

44

50

40

10

将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”.

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；

锻炼不达标

锻炼达标

总计

男

女

20

110

总计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关