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乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

复变函数与积分变换

一、复变函数的定义与基本性质

1.1复数与复平面

1.1.1复数的定义

复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a、b为实数，i为

虚数单位。

1.1.2虚数单位的性质

•i的定义：i^2=-1

•i的乘法：i*i=-1

1.1.3复平面的构建

复平面是由实轴和虚轴组成的平面，实轴表示实部，虚轴表示虚部。

1.2复变函数的定义

1.2.1复变函数的定义

复变函数是指自变量和函数值都为复数的函数。

1.2.2复变函数的表示

复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+yi为自变量，f(z)

=u(x,y)+iv(x,y)为函数值，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。

乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

1.3复变函数的基本性质

1.3.1复变函数的连续性

与实函数类似，复变函数也具有连续性的概念，即极限存在的情况下，函数值与极

限值相等。

1.3.2复变函数的导数

复变函数的导数与实函数稍有不同，即导数定义中的差商在复数域中有无穷个方向。

1.3.3复变函数的积分

复变函数的积分与实函数的积分类似，可以分为定积分和不定积分。复变函数的积

分路径可以沿任意闭合曲线。

二、复变函数的解析

2.1复变函数的解析概念

2.1.1解析的定义

解析的定义为函数在给定域上无穷次可导，并且在该域上的导数处处存在。

2.1.2柯西－黎曼条件

柯西－黎曼条件是判断复变函数解析性的重要准则，包括实部和虚部的偏导数关系。

2.2复变函数的解析函数

2.2.1解析函数的定义

解析函数是指除了在有限个点上有奇点外，在其余所有点处都是解析的复变函数。

乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

2.2.2解析函数的性质

解析函数具有许多重要性质，如可导、连续、无穷次可导等。

2.3复变函数的调和函数

2.3.1调和函数的定义

调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，其实部和虚部都是调和函数。

2.3.2调和函数的性质

调和函数具有许多重要性质，如调和函数的平均值性质、极值性质等。

三、复变函数的积分变换

3.1复变函数的积分

3.1.1复变函数的积分定义

复变函数的积分定义与实函数的积分类似，可以用极限的方法进行定义。

3.1.2复变函数的定积分

复变函数的定积分可以沿着路径进行计算，不同路径会得到不同的积分值。

3.2度型积分变换

3.2.1度型积分变换的定义

度型积分变换是指对给定函数进行积分变换的一种方法，是一种线性变换。

3.2.2度型积分变换的性质

度型积分变换具有一系列的性质，如线性性、时移性、尺度性等。

乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

3.3拉普拉斯变换

3.3.1拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换是一种积分变换，用于求解线性时不变系统的响应。

3.3.2拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换具有一系列的性质，如线性性、时移性、尺度性等。

四、总结