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2019年全国初中数学竞赛试题及答案

2019年全国初中数学竞赛试题

考试时间2019年4月2日上午9∶30－11∶30满分120分

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每

道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且

只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括

号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个

限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个

速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，

那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）

（A）36（B）37（C）55（D）90

2．已知，，且=8，则a的值等于（）

（A）－5（B）5（C）－9（D）9

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边

AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）

（A）h（B）h=1（C）1h（D）h2

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将

其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的

直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，

还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此

下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则

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至少要剪的刀数是（）

（A）2019（B）2019（C）2019（D）2019

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连

结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2019，c－a=2019．若a，

则a＋b＋c的最大值为．

7．如图，面积为的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则的值

等于．

8．正五边形广场ABCDE的周长为2019米．甲、乙两人分

别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向

绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那

么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

9．已知0a1，且满足，则的值等于

．(表示不超过x的最大整数)

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码

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和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；

第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的

电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，

恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话

号码是．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最

大公约数为1），且≤8，．

（1）试写出一个满足条件的x；

（2）求所有满足条件的x．

12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式

求a的取值范围．

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，

切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连

结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求

证：PE·AC=CE·KB．

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，

每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少

可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的

最小值．

2019年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每