三个正数的算数-几何平均不等式.pptVIP

*广东省阳江市第一中学周如钢*例2*例2答案*例21.3三个正数的算术---几何平均数定理1.如果，那么（当且仅当时取“=”号）1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：定理2.如果那么是正数，（当且仅当时取“=”号）注意：1．这个定理适用的范围：2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:01一正;二定;三相等.02有一个条件达不到就不能取得最值.03基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。推论:关于“平均数”的概念：1．如果则：叫做这n个正数的算术平均数。叫做这n个正数的几何平均数。2.基本不等式：≥语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．【归纳总结】定理3的变形及结论a3+b3+c3≥3abc.abc≤.上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.0102函数y=2x2+(x∈R+)的最小值为()A.6B.7C.8D.9【即时小测】当且仅当x=1时等号成立.【解析】选A.因为x∈R+,所以若n0,则的最小值为()01A.2 B.4 C.6 D.802【解析】选C.因为03所以04当且仅当n=4时等号成立.05A若ab0,则a+的最小值为_________.B【解析】因为ab0,所以a-b0,C所以D当且仅当(a-b)=b=时等号成立.E答案:3类型一利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x的最大值.求函数y=x+(x1)的最小值.010203则其积为常数.【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值?提示:可将式子(1-3x)2·x化为(1-3x)(1-3x)·6x的形式.典例2中如何构造式子,使其积为定值?提示:可将式子x+化为030405060102【解析】1.因为0x,所以1-3x0,所以y=(1-3x)2·x=(1-3x)·(1-3x)·6x当且仅当1-3x=1-3x=6x,即x=时等号成立,此时ymax=.因为x1,所以x-10,01当且仅当即x=3时等号成立,即ymin=4.02若将典例1条件变为“x,y∈R+且x2y=4”,如何求x+y的最小值?【解析】因为x,y∈R+且x2y=4,所以x+y=当且仅当=y时等号成立,又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足1bcd,求证:2c-d0,a-d0,所以=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即【证明】因为abcd,所以a-b0,b-c0,*广东省阳江市第一中学周如钢*例2*例2答案*例2