【学案】《1.4.3_诱导公式与对称》 (4).docVIP

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4.3诱导公式与对称

课程内容标准

学科素养凝练

借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦、余弦函数中α±π的诱导公式.

通过学习诱导公式及运用诱导公式解题，提升逻辑推理及数学抽象素养.

1．角α与－α的正弦函数、余弦函数关系

sin(－α)＝－sinα，所以正弦函数v＝sinα是奇函数；

cos(－α)＝cosα，所以余弦函数u＝cosα是偶函数．

2.角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系

sin(α＋π)＝－sin_α，sin(α－π)＝－sin_α,_

cos(α＋π)＝－cos_α,_cos(α－π)＝－cos_α.

3.角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系

sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．

(1)sin(α－π)＝sinα. ()

×提示sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sinα.

(2)coseq\f(4,3)π＝－eq\f(1,2).()

√提示coseq\f(4π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).

(3)诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用． ()

×提示在角度制和弧度制下，公式都成立．

2．(教材P21练习1改编)sin585°的值为 ()

A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),2)

C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)

A[sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).]

3.已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是 ()

A．sinα＝sinβ

B．sin(α－2π)＝sinβ

C．cosα＝cosβ

D．cos(2π－α)＝－cosβ

C[由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cosα＝cosβ.]

探究一已知角求值问题

[知能解读]利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1．“负化正”：用公式把负角转化为正角；

2．“大化小”：用公式把角化为0°到360°间的角；

3．“角化锐”：用公式将大于90°的角转化为锐角；

4．“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．

求下列各三角函数值．

(1)cos210°；(2)sineq\f(11π,4)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))；

(4)cos(－1920°)．

解(1)cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－eq\f(\r(3),2).

(2)sineq\f(11π,4)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(3π,4)))＝sineq\f(3π,4)

＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).

(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(7π,6)))＝－sineq\f(7π,6)

＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).

(4)cos(－1920°)＝cos1920°＝cos(5×360°＋120°)

＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2).

[方法总结]解决已知角求值问题的策略

1．解决已知角求值问题，首先要仔细观察所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

2．将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．

[训练1]求下列各三角函数值．

(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6))).

解(1)方法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°