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第十六章坐标系与参数方程

;考点一极坐标方程;解析本题考查极坐标方程、曲线方程等知识,考查学生在极坐标系下的运算能力,体现了数

学运算的核心素养.

(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=?时,ρ0=4sin?=2?.

由已知得|OP|=|OA|cos?=2.

设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.

在Rt△OPQ中,ρcos?=|OP|=2.

经检验,点P?在曲线ρcos?=2上.

所以,l的极坐标方程为ρcos?=2.

(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,;思路分析(1)将θ0=?代入ρ=4sinθ求得ρ0.由ρ0可求得|OP|,从而求得l的极坐标方程.(2)设点P

(ρ,θ),用ρ,θ表示出Rt△AOP中的边角关系,从而求出P点轨迹的极坐标方程.

解题关键熟练应用极坐标系中的ρ,θ是解题关键.;2.(2019课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(t为参数).以

坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+?ρsinθ

+11=0.

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.;解析本题主要考查学生对椭圆的参数方程、直线的极坐标方程的掌握与运用,考查曲线的

参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;考查学生的运算求解能力及化归与转化

思想;考查的核心素养是数学运算.

(1)因为-1?≤1,且x2+?=?+?=1,所以C的直角坐标方程为x2+?=1(x≠-1).

l的直角坐标方程为2x+?y+11=0.

(2)由(1)可设C的参数方程为?(α为参数,-παπ).C上的点到l的距离为

?=?.

当α=-?时,4cos?+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为?.

注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的

“直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.;3.(2019课标全国Ⅲ,22,10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B?,C?,D(2,π),弧?,

?,?所在圆的圆心分别是(1,0),?,(1,π),曲线M1是弧?,曲线M2是弧?,曲线M3是弧?.

(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;

(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=?,求P的极坐标.

?;解析本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求

解能力,以求极坐标方程、求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养.

(1)由题设可得,弧?,?,?所在圆的极坐标方程分别为??=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.

所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ?,M2的极坐标方程为ρ=2sinθ?,M3的极坐

标方程为ρ=-2cosθ?.

(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知

若0≤θ≤?,则2cosθ=?,解得θ=?;

若?≤θ≤?,则2sinθ=?,解得θ=?或θ=?;

若?≤θ≤π,则-2cosθ=?,解得θ=?.

综上,P的极坐标为?或?或?或?.;4.(2018课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.;当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以?=2,故k=-?或k=0,经检验,当k

=0时,l1与C2没有公共点;当k=-?时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以?=2,故k=0或k=?.经检验,当k=

0时,l1与C2没有公共点;当k=?时,l2与C2没有公共点.

综上,所求C1的方程为y=-?|x|+2.;5.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极

坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方

程;

(2)设点A的极坐标为?,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.;解析本题考查极坐标方程及其应用.

(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ10).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=?.

由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ0).

因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)设点B的极坐标为