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§8.2直线、平面平行的判定与性质
;考点直线、平面平行的判定与性质;2.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面
ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为?()
A.?????B.?????C.?????D.?;疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置或它们相对正方体中的棱、对角线的相
对位置关系.为此适当扩形是常用策略.;3.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m?α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有????.(填写所有正确命题的编号);4.(2019课标全国Ⅰ,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD
=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
?;解析本题主要考查线面平行的判定定理,线面垂直的性质定理,二面角求解等知识点;旨在考
查学生的空间想象能力;以直四棱柱为模型考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=?B1C.又因为N为A1D的中
点,所以ND=?A1D.由题设知A1B1??DC,可得B1C??A1D,故ME??ND,因此四边形MNDE为平行四
边形,MN∥ED.又MN?平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,?的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐
标系D-xyz,
?
则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,?,2),N(1,0,2),?=(0,0,-4),?=(-1,?,-2),?=(-1,0,-2),?=(0,-?,;0).
设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则?
所以?可取m=(?,1,0).
设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则?
所以?可取n=(2,0,-1).
于是cosm,n=?=?=?,
所以二面角A-MA1-N的正弦值为?.;5.(2016课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,
PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
?;解析????(1)证明:由已知得AM=?AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN
=?BC=2.?(3分)
?
又AD∥BC,故TN??AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT?平面PAB,MN?
平面PAB,所以MN∥平面PAB.?(6分)
(2)取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE=?=?
=?.
以A为坐标原点,?的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.;由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(?,2,0),N?,
?=(0,2,-4),?=?,?=?.
设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,
则?即??(10分)
可取n=(0,2,1).于是|cosn,?|=?=?.
即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为?.?(12分);考点直线、平面平行的判定与性质;2.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是?()
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β?,则在α内?与β平行的直线
D.若m,n?,则m与n?垂直于同一平面;3.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的?()
A.充分而不必要条件????
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件????
D.既不充分也不必要条件;4.(2019天津,17,13分)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为?,求线段CF的长.
?;解析本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识,考查用
空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想
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