§6.1　数列的概念及其表示.pptx

第六章数列

§6.1数列的概念及其表示

;考点数列的概念及其表示

(2018课标全国Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=????.;考点数列的概念及其表示;1.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=????,S5=????

????.;2.(2019北京,20,13分)已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1i2…im),若??

…?,则称新数列?,?,…,?为{an}的长度为m的递增子列.规定:数列{an}的任意一项都是

{an}的长度为1的递增子列.

(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;

(2)已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为?,长度为q的递增子列的末项的最

小值为?.若pq,求证:??;

(3)设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项

的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{an}的通项公式.;解析本题通过对数列新概念的理解考查学生的逻辑推理、知识的迁移应用能力;重点考查

逻辑推理、数学抽象的核心素养;渗透数学应用与创新意识,以及由特殊到一般的分类整合思

想.

(1)1,3,5,6.(答案不唯一)

(2)设长度为q末项为?的一个递增子列为?,?,…,?,?.

由pq,得?≤??.

因为{an}的长度为p的递增子列末项的最小值为?,

又?,?,…,?是{an}的长度为p的递增子列,

所以?≤?.所以??.

(3)由题设知,所有正奇数都是{an}中的项.

先证明:若2m是{an}中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).

假设2m排在2m-1之后.

设?,?,…,?,2m-1是数列{an}的长度为m末项为2m-1的递增子列,则?,?,…,?,2m-1,2m

是数列{an}的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.

再证明:所有正偶数都是{an}中的项.;假设存在正偶数不是{an}中的项,设不在{an}中的最小的正偶数为2m.

因为2k排在2k-1之前(k=1,2,…,m-1),所以2k和2k-1不可能在{an}的同一个递增子列中.

又{an}中不超过2m+1的数为1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{an}的长度为m+1且末项为2m+1的递

增子列个数至多为?×1×1=2m-12m.

与已知矛盾.

最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2为整数).

假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{an}的长度???m+1且末项为2m+1的递增子列的个

数小于2m.与已知矛盾.

综上,数列{an}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,….

经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件.

所以an=?;3.(2018浙江,20,15分)已知等比数列{an}的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列

{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.

(1)求q的值;

(2)求数列{bn}的通项公式.;解析本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和

综合应用能力.

(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,

所以a3+a4+a5=3a4+4=28,

解得a4=8.

由a3+a5=20得8?=20,

解得q=2或q=?,

因为q1,所以q=2.

(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn.

由cn=?解得cn=4n-1.

由(1)可知an=2n-1,

所以bn+1-bn=(4n-1)·?,;故bn-bn-1=(4n-5)·?,n≥2,

bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)

=(4n-5)·?+(4n-9)·?+…+7·?+3.

设Tn=3+7·?+11·?+…+(4n-5)·?,n≥2,

?Tn=3·?+7·?+…+(4n-9)·?+(4n-5)·?,

所以?Tn=3+4·?+4·?+…+4·?-(4n-5)·?,

因此Tn=14-(4n+3)·?,n≥2,

又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·?.;易错警示利用错位相减法求和时,要注意以下几点:

(1)错位相减法求和,只适合数列{anbn},其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列.

(2)在等式两边所乘的数是等比数列{bn}的公比.

(3)两式相减时,一定要错开一位.

(4)特别要注意相减后等比数列的