《工程电磁场》矢量分析与场论基础-教学课件（非AI生成）.ppt

4.旋度的性质①斯托克斯定理矢量场沿有向闭合曲线l的环量，等于矢量场的旋度穿过由l所围成的有向曲面S的通量。②旋度的基本运算公式（c为常数）（u为标量函数）（为常矢）*表明任何梯度场都是无旋场表明任何旋度场都是无源场表明为梯度场表明若和都是无旋场，则为无源场注释：或表明若和都是梯度场，则为无源场*第三节几种重要的矢量场一、有势场1.有势场的定义：设有矢量场，若存在单值函数u=u(x,y,z)满足则称此矢量场为有势场，并称u为这个场的势函数。2.有势场的性质：①有势场是一个梯度场。②有势场的势函数有无穷多个。证明：∴有势场的势函数有无穷多个*是某个函数的全微分”这四者彼此等价。③有势场的势函数之间只相差一个常数。证明：即有势场的势函数之间只相差一个常数。④在线单连域内，矢量场为有势场的充要条件是为无旋场。⑤在线单连域内，“场有势”、“场无旋”、“场保守”以及“表达式证明：∵场有势即矢量场沿有向曲线的积分与路径无关，矢量场为保守场。*则根据矢量场为保守场这一性质可得：令由此可知：，即矢量场有势。证毕!*二、管形场1.管形场的定义：设有矢量场，若其散度，则称此矢量场为管形场，换言之，管形场就是无源场。2.管形场的性质：①设管形场所在空间区域为面单连域，则在管形场中，穿过同一矢量管的任意横断面的通量都相等。这个通量又称为此矢量管的强度。②在面单连域内，矢量场为管形场的充要条件是：它为另一个矢量场的旋度场。即有：其中，矢量场又称为矢量场的矢势量。*③管形场的矢势量有无穷多个。设，标量函数j具有二阶连续偏导数，则矢量场亦为矢量场的矢势量。证明：*三、调和场1.调和场的定义：矢量场，若恒有：且，则称此矢量场为调和场。2.调和场的性质：①调和场的调和量为零。(u=u(x,y,z)为标量场，则称为标量场u的调和量)设矢量场为调和场，则由可知，存在标量场u使得代入上式可得*②平面调和场的共轭调和条件*第四节哈密顿算子一、常用的矢性微分算子哈密顿算子：拉普拉斯算子：*二、常用场量的算子表达式*三、场量的基本算式（c为常数）（为常矢）*斯托克斯公式：高斯公式：格林第一公式：格林第二公式：*特例：*第五节坐标系一、柱面坐标系①空间点坐标：其中②空间体积微元：③空间有向曲线：*⑤圆柱坐标系中的场量公式：④空间有向曲面：*二、球面坐标系①空间点坐标：其中②空间体积微元：③空间有向曲线：④空间有向曲面：*⑤球面坐标系中的场量公式：*例：设S为区域W的边界曲面，为S的单位外法矢，若和在W中满足证明在W中有证明：设由格林第一公式：令u=f代入上式：*即：*第五节亥姆霍兹定理一、矢量场的特性可见，源是矢量场产生的原因。矢量场的特性取决于其散度和旋度：用于描述某点处的通量源的强度(通量源密度)用于描述某点处环量源最大的方向和最大模(旋涡源密度)定理表述：在空间有限区域V内的任一个矢量场，若已知它的散度、旋度和边界条件(即限定区域V的闭合曲面S上矢量场的分布)，则该矢量场就被唯一确定下来。该定理说明：空间中任一矢量场均可分解成一个无旋场分量和一个无散场分量之和，即二、亥姆霍兹定理*可见，研究一个矢量场的性质时，需要从矢量场的散度、旋度以及边界条件入手，根据亥姆霍兹定理矢量场一定有：特例：如果产生矢量场的源(通量源或旋涡源)分布于有限空间，则在无限远处的矢量场必定为零，因此，仅由其该矢量场的散度和旋度即可唯一地确定其在整个空间的分布(实际上，在这种情况下