§12.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差.pptx

§12.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差

;考点一离散型随机变量及其分布列;答案0.98;2.(2019课标全国Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有

效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白

鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中

一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有

效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,

则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲

药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮

试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认

为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X

=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.;解析????本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累

加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生

的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识.

(1)X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),

P(X=1)=α(1-β).

所以X的分布列为;(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1

-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.

(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=?p1.

由于p8=1,故p1=?,

所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=?p1=?.

p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.

8时,认为甲药更有效的概率为p4=?≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试

验方案合理.;3.(2017课标???国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4

元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经

验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最

高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月

份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:;解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.

(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知

P(X=200)=?=0.2,P(X=300)=?=0.4,P(X=500)=?=0.4.

因此X的分布列为;(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时,

若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=(640-0.4n)元.

当200≤n300时,

若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=(160+1.2n)元.

所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.;4.(2016课标全国Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有

一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使