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§10.1 椭圆及其性质.pptx

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第十章圆锥曲线

§10.1椭圆及其性质

;考点一椭圆的定义和标准方程;答案????B本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能

力,考查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算,具有很好的创新性.

设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,

|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,

?

由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.

在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2

F1①,

在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠;BF2F1②,

由①②得x=?,所以2a=4x=2?,a=?,所以b2=a2-c2=2.

所以椭圆的方程为?+?=1.故选B.;2.(2019课标全国Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C:?+?=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.

若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为????.;一题多解依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cos∠MF1F2=?=?,则tan∠MF1F2=?.

所以直线MF1的方程为y-0=?(x+4).

设M(6cosθ,2?sinθ),因为M点在直线MF1上,

所以2?sinθ=?(6cosθ+4),

结合sin2θ+cos2θ=1且sinθ0,cosθ0得cosθ=?,sinθ=?,

即M点的坐标为(3,?).;3.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:?+?=1交于A,B两点,线段AB的中

点为M(1,m)(m0).

(1)证明:k-?;

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且?+?+?=0.证明:|?|,|?|,|?|成等差数列,并求该数

列的公差.;解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.

(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),

则?+?=1,?+?=1.

两式相减,并由?=k得?+?·k=0.

由题设知?=1,?=m,

于是k=-?.?①

由题设得0m?,故k-?.

(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).

由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.

又点P在C上,

所以m=?,

从而P?,|?|=?.;于是|?|=?=?=2-?.

同理,|?|=2-?.

所以|?|+|?|=4-?(x1+x2)=3.

故2|?|=|?|+|?|,

即|?|,|?|,|?|成等差数列.

设该数列的公差为d,则

2|d|=||?|-|?||=?|x1-x2|=??.?②

将m=?代入①得k=-1.

所以l的方程为y=-x+?,代入C的方程,并整理得7x2-14x+?=0.

故x1+x2=2,x1x2=?,代入②解得|d|=?.

所以该数列的公差为?或-?.;思路分析(1)利用“点差法”???立k与m的关系式,由m的范围得到k的范围.

(2)根据题设?+?+?=0及点P在C上,确定m的值.进一步得出|?|、|?|、|?|的关系,再求

公差.;考点二椭圆的几何性质及应用;答案????D本题考查直线方程和椭圆的几何性质.

由题意易知直线AP的方程为y=?(x+a),①

直线PF2的方程为y=?(x-c).②

联立①②得y=?(a+c),

如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=?(a+c).

因为∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=?(a+c),;2.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:?+?=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A

1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为?()

A.?????B.?????C.?????D.?;3.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:?+?=1(ab0)的左焦点,A,B分别

为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若

直线BM经过OE的中点,则C的离心率为?????()

A.?????B.?????C.?????D.?;考点一椭圆的定义与标准方程;解析本小题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值.

设B(t,u),由?=2?,易得A(-2t,3-2u).

∵点A,B都在椭圆上

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