专题31三角形与新定义综合问题（解析版）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题31三角形与新定义综合问题

【例1】（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），

如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容

易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下

列问题：

（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过

点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形

的三线合一性质，求出BC即可解答，

根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠

B＝60°；

（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，

canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△

ABC＝48，列出关于x的方程即可解答．

【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD，

第1页共57页.

∵∠B＝30°，

∴BD＝ABcos30°＝AB，

∴BC＝2BD＝AB，

∴can30°＝＝＝，

若canB＝1，

∴canB＝＝1，

∴BC＝AB，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

故答案为：，60；

（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵canB＝，

∴＝，

∴设BC＝8x，AB＝5x，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝BC＝4x，

∴AD＝＝3x，

∵S△ABC＝48，

∴BC•AD＝48，

∴•8x•3x＝48，

∴x2＝4，

∴x＝±2（负值舍去），

第2页共57页.

∴x＝2，

∴AB＝AC＝10，BC＝16，

∴△ABC的周长为36，

答：△ABC的周长为36．

【例2】（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这

个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标

准三角形．

【概念感知】

判断：对的打“√”，错的打“×”．

（1）等腰直角三角形是标准三角形．√

（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×

【概念理解】

若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：或：：

2．

【概念应用】

（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小

值．

（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；

（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；

【概念理解】当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；当△ABC是等

腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，设BE＝x，则AE＝2x，求出AB＝x，则AB：

AC：BC＝：：2；

【概念应用】（1）过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A，连接AB，

当A、B、C三点共线时，AC+BC＝AB，此时AC+BC的值最小，求出AB即可；