华师大版高等数学上册第四章不定积分.ppt

类似地，有另一方面一、第一类换元积分法【例18】【例19】一、第一类换元积分法（1）使用凑微分法的重点在于如何“凑”出一个函数的微分．一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式；另一方面对那些不常见的，则不妨从被积函数中拿出一个表达式来，求其导数，从而决定如何凑微分．（2）把式（4-2）~式（4-9）的结果扩充到本章第二节的基本积分公式表中，以后可以直接用．总结如下：注意一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法第一类换元积分法(凑微分法)是通过变量代换u=φ(x)，将φ′(x)dx凑微分得到dφ(x),把∫f［φ(x)］φ′(x)dx转化为∫f(u)du，从而易于积分．凑微分法能解决一部分积分问题，但是还有一类不定积分使用凑微分法却不奏效，如∫11+xd和∫x2－9xd等这些被积函数含有根号的无理函数的积分问题．针对这些问题，如果我们做适当的变量代换将被积函数中的根号去掉，就能顺利积分了，这就是第二类换元积分法的思想．详细叙述成下面的定理．定理2(第二类换元积分法)若x=φ(t)单调可微且φ′(t)≠0，f［φ(t)］φ′(t)有原函数Φ(t)，则∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=Φ(t)+C=Φ［ψ(x)］+C，即∫f(x)dx=Φ［ψ(x)］+C．（4-10）其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数．二、第二类换元积分法证明由假设知：Φ′(t)=f［φ(t)］φ′(t)，利用复合函数和反函数求导法则，得下面举例说明如何使用第二类换元积分法．二、第二类换元积分法【例20】二、第二类换元积分法【例21】二、第二类换元积分法【例22】二、第二类换元积分法【例23】二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法为了由假设x=asint方便地求出其他三角函数值，常作一辅助直角三角形（见图4-2），由图容易看出，这样可以省去许多没必要的计算．利用三角公式消去根号的方法通常称为三角代换法．（1）例20和例23的解答表明，使用第二类换元积分法往往要指明中间变量的取值范围．只有这样，才能保证将中间变量换回原变量时，有确定的函数关系．例如，例20中的t=x，例23中的，都是根据预先指明的中间变量的取值范围，确定根号前的符号的．（2）第二类换元积分法是针对被积函数是无理数，即被积函数含有根式的情况，作变换x=x(t)后，可使被积函数去掉根式，达到有理化的目的．常用的变换如下：注意二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例24】二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例25】二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例26】二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法式（4-11）~式（4-13）常常可以当公式直接用，所以可以添加到到基本积分公式表中．注意二、第二类换元积分法【例27】二、第二类换元积分法一般的，当被积函数为分式，而分子的积分变元幂次低于分母的积分变元幂次减1时，可采用倒代换．由例27解法可知，我们在实际解题时，除常用的变量代换以外，要具体问题具体分析，采取灵活的代换，将被积函数有理化．二、第二类换元积分法【例28】二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法(1)不定积分的两类换元积分法有何不同？使用时怎样确定用哪种方法？(2)当被积函数是两个初等函数的乘积，用两类换元积分法又不能求出来时，如∫xcosxdx和∫xexdx，请读者想想应采用什么方法呢？注意二、第二类换元积分法分部积分法第四节第四节、分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如∫xexdx,∫xcosxdx等，利用换元积分法就无法求解.本节要介绍另一种基本积分法——分部积分法.设函数u=ux,v=vx具有连续导数,则两个函数乘积的微分公式为duv=udv+vdu,移项，得udv=duv－vdu.两边积分，得∫udv=uv－∫vdu（4-14）或∫uv′dx=uv－∫u′vdx.（4-15）