1.2.3 直线与平面的夹角 第2课时（教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptx

1.2.3直线与平面的夹角第2课时新授课

1.理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系.2.会利用空间向量求直线与平面的夹角.

思考：如图所示，如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ.(1)〈v，n〉在图中如何表示？

(2)θ与〈v，n〉有什么关系？cosθ=sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|.

例1已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小.?所以A′(1，0，1)，B(1，1，0)，D′(0，0，1)，B′(1，1，1)，可得：

设平面A′BCD′的一个法向量为n=(x，y，z)，又因为?所以即B′D′与平面A′BCD′所成角θ的大小为：

(方法二)设A′B的中点为E，连接B′E,D′E如图所示，∵ABB′A′是正方形，∴B′E⊥A′B又∵D′A′⊥面ABB′A′，且B′E?面ABB′A′，∴D′A′⊥B′E.再根据D′A′∩A′B=A′，可知B′E⊥面A′BCD′因此B′D′在面A′BCD′内的射影为D′E，∴∠B′D′E就是B′D′与平面A′BCD′所成的角.??

用空间向量法解答的基本步骤：(1)建系，写出相关点的坐标.(2)求直线方向向量a及平面法向量n.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值.(4)结合图形(角的关系)及三角函数值关系确定角的值，并写出结论.归纳总结

用几何推理法解答的基本步骤：(1)找到(或作出)斜线(斜线段)上一点到平面的垂线(或垂线段)，并证明.(2)找到(或作出)斜线(斜线段)在平面内的射影，并确定线面角.(3)根据题目条件解直角三角形，经计算(或推理)得到角的值.(4)写出结论.

空间向量法几何推理法优点缺点两种方法的比较①不用做图；②几何问题代数化，难度降低；③有固定的相应公式，可直接代入计算；计算量小，不易出现计算失误画图困难或不正确计算量大，计算容易失误

?练一练解：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，??

设a=(x，y，z)为平面CMN的法向量所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.则即令x=2，得a=(2，1，-2)为平面CMN的一个法向量.因为?

根据今天所学，回答下列问题：1.直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角有什么关系?2.求直线与平面的夹角有几种方法？基本步骤是什么？分别各有什么优缺点？