1.2.5 空间中的距离 第2课时（教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptx

1.2.5空间中的距离第2课时新授课

1.理解点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念2.会用向量法求距离.

知识点一：点到平面的距离思考：平面外一点到该平面的距离如何用线段表示？给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离.问题：如图，点A是平面α外一点，若AA是平面α的垂线段(即A为A在平面α内的射影)，则平面α内不同于A的任意一点B，则线段AB与AA′有怎样的大小关系？∴ABAA′∵AB与AA分别是Rt△AAB的斜边与一条直角边，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度.

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?一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离

例1如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥面ABCD，PA=1，求点D到平面PBC的距离.?所以?B(1，0，0)，C(1，1，0)D(0，1，0)，P(0，0，1)则

令z=1，则得x=1，y=0，此时n=(1，0，1).因为?设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，则

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向量法求点到平面的距离的步骤：归纳总结(1)根据条件合理建立空间直角坐标系，并求出相应点的坐标；(2)求出相应平面内不共线的两个向量及点到这个平面的一条斜线段的向量；(3)利用方程组求出平面的一个法向量；(4)利用公式求出点到平面的距离；(5)写出所求问题的结论.

当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离；当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.知识点二：线面距、面面距?Alβ

一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.?Alβ公垂线显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.

思考：直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离，都可以归结成点到平面的距离.结合前面所学知识，回答下列问题：（1）如图所示，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离可以如何表示？

（2）如图所示，如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量（当然也是平面α的一个法向量），A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离可以如何表示？

例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系.如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由.??M(1，0，0)，E(2，1，2)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，则

令z=1，则得n=(-1，-1，1).因为??设平面EMN的一个法向量为n=(x，y，z)，则??所以

问题：由共面向量定理可知，如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c=xa+yb.由此你还能想出其他方法解答例2吗？?又因为直线AC不在平面EMN内，所以AC//平面EMN.??

归纳总结利用向量研究直线与平面是否平行时如下两种方法：(1)法向量法.研究给定直线与平面的法向量是否垂直.其关键步骤还是建系、写坐标、设法向量、求法向量，最终验证直线的方向向量与平面的法向量是否垂直.(2)共面向量法.研究给定的平面外直线的方向向量是否可以通过平面内两不共线向量进行线性分解（共面向量基本定理）.

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设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)则即∴y=0，x=z，不妨取n＝(1，0，1).∴直线A1B1与平面ABE的距离?

本节要点概括直线与它的平行平面的距离点到平面的距离两个平行平面的距离两点之间的距离