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课时分层作业(九)
(建议用时:60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()
A.eq\f(x2,16)-eq\f(y2,9)=1 B.eq\f(x2,16)-eq\f(y2,9)=1(x≥4)
C.eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1 D.eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1(x≥3)
D[由题意知,轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,
∴M点的轨迹方程为eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1(x≥3).]
2.若方程eq\f(x2,k+3)+eq\f(y2,k+2)=1,k∈R表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是()
A.-3k-2 B.k-3
C.k-3或k-2 D.k-2
A[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k+30,,k+20,))解得-3k-2.]
3.若椭圆eq\f(x2,34)+eq\f(y2,n2)=1和双曲线eq\f(x2,n2)-eq\f(y2,16)=1有相同的焦点,则实数n的值是()
A.±5 B.±3
C.5 D.9
B[由题意可知椭圆的焦点在x轴上,故34-n2=n2+16,即n2=9,∴n=±3,故选B.]
4.已知双曲线的方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1,点A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为()
A.2a+2m B.4
C.a+m D.2a+
B[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|-|AF2|=2a,,|BF1|-|BF2|=2a,))
即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|=2a+|AF2|,,|BF1|=2a+|BF2|,))
且|AF2|+|BF2|=|AB|=m,
所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2m
5.已知双曲线过点P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,\f(3\r(5),2)))和P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(7),3),4)),则双曲线的标准方程为()
A.eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1 B.eq\f(y2,9)-eq\f(x2,16)=1
C.eq\f(x2,16)-eq\f(y2,9)=1 D.eq\f(y2,16)-eq\f(x2,9)=1
B[因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0).因为P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,\f(3\r(5),2))),P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(7),3),4))两点在双曲线上,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m+\f(45,4)n=1,,\f(112,9)m+16n=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=-\f(1,16),,n=\f(1,9),))于是所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)-eq\f(x2,16)=1.故选B.]
二、填空题
6.设F1,F2是双曲线x2-eq\f(y2,24)=1的两个焦点,P是双曲线上一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于________.
24[双曲线的实轴长为2,焦距为|F1F2|=2×5=10.由题意,知|PF1|-|PF2|=eq\f(4,3)|PF2|-|PF2|=eq\f(1,3)|PF2|=2,∴|PF2|=6,|PF1|=8,∴△PF1F2为Rt△.
∴S△PF1F2=eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|=eq\f(1,2)×6×8=24.]
7.若双曲线eq\f(x2,m-2)-eq\f(y2,m-7)=1的焦距等于6,则实数m的值为________.
0或9[因为双曲线的焦距等于6,即2c=6,所以c=3,a2+b2=c2=
(1)当双曲线焦点在x轴上时,方程为eq\f(x2,m-2)-eq\f(y2,m-7)=1,a2=m-2,b2=m-7,所以m-2+m-7=9,解得m=9,即实数m的值为9.
(2)当双曲线焦点在y轴上时,方程为eq\f(y2,7-m)-eq\f(x2,2-m)=1,a2=7-m,b
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