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2.7.2 抛物线的几何性质(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册.pptx

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2.7.2抛物线的几何性质新授课

1.通过研究抛物线的方程,掌握抛物线的几何性质.2.能利用抛物线的几何性质进行简单应用.

思考:类比椭圆、双曲线的几何性质,可以研究抛物线y=2px(p0)的哪些几何性质?如何研究这些性质?lFMHKOyx知识点一:抛物线的几何性质通过抛物线方程可以研究抛物线的范围,对称性,顶点,离心率等性质.

思考:已知抛物线C的方程为y2=2x,根据方程回答下列问题:(1)方程中x与y取值范围是多少?由此可知,抛物线C位于y轴及y轴的右侧,如图所示.∵y2≥0,∴2x≥0,即x≥0,y∈R.

思考:已知抛物线C的方程为y2=2x,根据方程回答下列问题:(2)抛物线C是否关于x轴,y轴,原点对称?为什么?如果(x,y)是方程y2=2x的一组解,可得(x,?y)也是方程的解,即抛物线关于x轴对称;又因为(?x,y),(?x,?y)不一定是方程的解,即抛物线不关于y轴和原点对称.

思考:已知抛物线C的方程为y2=2x,根据方程回答下列问题:(3)抛物线C与坐标轴是否有交点?如果有,求出交点坐标.令y=0,得x=0;令x=0,得y=0.所以抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点,且交点都是原点(0,0).如图所示.

一般地,如果抛物线C的标准方程是y2=2px??(p0)①则可以根据方程①来得到抛物线的几何性质:(1)范围当x→+∞时,|y|→+∞,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,如图所示.∴除顶点外,抛物线上的其余点都在y轴的右侧.由方程①可知,2px≥0,又∵p0,∴x≥0.此时,称抛物线C的开口向右(或朝右).

所以抛物线C关于x轴对称.此时称x轴是抛物线的对称轴(简称轴)x轴对称抛物线只有一条对称轴.(2)对称性y2=2px??(p0)①

此时,称原点是抛物线的顶点.(3)顶点在方程①中,令y=0,得x=0;令x=0,得y=0.y2=2px??(p0)①可知抛物线C与x轴、y轴都交于原点(0,0).

(2)离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率,用e表示.lFMKOyxe=1.根据抛物线的定义可知,抛物线的离心率.y2=2px??(p0)①

思考:如果抛物线的标准方程是y2=-2px(p0)②x2=2py(p0)③x2=-2py(p0)④说出抛物线的范围(开口方向)、对称性、顶点、离心率,同①表示的抛物线相比,有什么变化?

四种抛物线的几何性质的对比图形方程焦点准线范围顶点对称轴ey2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1y轴x轴(0,0)(0,0)(0,0)111

例1已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标原点且开口向左,又抛物线经过点,求这个抛物线的标准方程.解:根据已知条件可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p0)∵点在抛物线上,∴∴2p=3从而所求方程为y2=-3x知识点二:抛物线几何性质的简单应用

归纳总结用待定系数法求抛物线方程的步骤寻关系得方程根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向定位置设方程根据焦点和开口方向设出标准方程根据条件列出关于p的方程解方程,将p代入所设方程为所求

1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8yC练一练

例2求抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值.解:如图

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