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圆周运动的临界极值问题

题型一水平面内圆周运动的临界极值问题

物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。

1.常见的临界情况

（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。

（2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。

（3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直（意味着绳上无弹力）；绳上拉力恰好为最大承受力等。

2.分析方法

分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。

【例1】（多选）如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为3l的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是μ。转台可绕过圆心的竖直轴OO以角速度ω逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为l和2l。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张力，转台的角速度ω极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则（）

A.当ω＜μgl时，

B.当μg2l＜ω＜μgl时，随着ω的缓慢增大，

C.若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当ω＝2μgl时，物块A、

D.若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当ω＝2μgl时，物块A、

答案：BD

解析：在B所受的静摩擦力达到最大时，细线刚要产生张力，对B，有μmg＝mω12·2l，解得ω1＝μg2l，可知当ω＞μg2l时，细线产生张力，故A错误；当ω从μg2l继续增大时，B所需向心力是A的两倍，由受力分析可知，A所受指向圆心的静摩擦力将减小，当A所受静摩擦力为0时，对B，有μmg＋T＝mω22·2l，对A，有T＝mω22l，联立可得ω2＝μgl，可知当μg2l＜ω＜μgl时，随着ω的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小，故B正确；当两物块即将相对滑动时，对A、B系统用牛顿第二定律，有2μmg＝mω2·2l－mω2l，解得ω＝2μgl，若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，除摩擦力外，A、B所受的洛伦兹力的合力是从A指向B的，即有2μmg－qBωl＝mω2·2l－mω2l，可知在2μmg－qBωl＞0的情况下，所解得的ω比2μgl

1.（多选）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的甲、乙两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O的间距分别为RA、RB，且RA＝2RB。若乙轮盘由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增大，则下列说法正确的是（）

A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA∶ωB＝1∶3

B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的大小之比为aA∶aB＝2∶9

C.转速增大后滑块B先发生滑动

D.转速增大后两滑块一起发生滑动

解析：ABC由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲r甲＝ω乙r乙，又r甲∶r乙＝3∶1，则ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，选项A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据a＝ω2R得，A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，选项B正确；滑块的最大静摩擦力分别为fA＝μmAg，fB＝μmBg，最大静摩擦力之比为fA∶fB＝mA∶mB，转动中所受的静摩擦力之比为fAfB＝mAaAmBaB＝2m

2.（多选）（2024·湖北六县质检）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5kg的小球（可视为质点），另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着一质量为m2的小球（可视为质点），长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6N。圆筒顶端A到C点的距离l1＝1.5m，细绳BC刚好被水平拉直时长l2＝0.9m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC绳被拉直之前，用手拿着m1，保证其位置不变，在BC绳被拉直之后，放开m1，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（）

A.在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大

B.当角速度ω＝533rad/s时，BC

C.当角速度ω＝3rad/s时，AC绳刚好被拉断

D.当角速度ω＝4rad/s时，BC绳刚好被拉断

解析：ABD转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中