专题7 填空压轴题轴对称最值模型（将军饮马）（解析版）.pdf

专题7填空压轴题轴对称最值模型（将军饮马模型）（解析版）

模型一两定点一动点模型

（1）求两条线段和的最小值

1

典例1（2022春•惠东县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S

3

矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为213．

111

思路引领：过点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF∥AB，由S△PAB=S矩形ABCD，得AB•AE=AB

323

2

•AD，则AE=AD＝2，延长AD到点G，使GE＝AE＝2，连接BG、PG，则点G与点A关于直线EF

3

22

对称，由勾股定理求得BG=+=213，即可根据“两点之间线段最短”求得PA+PB的最小值

是213．

解：过点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DEF＝∠DAB＝90°，

∴EF∥AB，

1

∵S△PAB=3S矩形ABCD，AD＝3，

11

=

∴AB•AEAB•AD，

23

22

==×

∴AEAD3＝2，

33

延长AD到点G，使GE＝AE＝2，连接BG、PG，则EF垂直平分AG，

∴点G与点A关于直线EF对称，

∵∠BAG＝90°，AB＝6，AG＝2AE＝2×2＝4，

2222

=+=6+4=13

∴BG2，

∵PG+PB≥BG，且PG＝PA，

∴PA+PB≥213，

∴PA+PB的最小值是213，

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故答案为：213．

总结提升：此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段之间的关系、两

点之间线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

变式训练

1．（2022•红桥区二模）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，若AB＝2，

3

BC＝2，则PE+PB的最小值为

思路引领：作E关于AC的对称点E，连接BE，则PE+PB的最小值即为BE的长；由已知可求EC=3，

3333

∠ECE＝60°；过点E作EG⊥BC，在Rt△ECG中，EG=，CG=，在Rt△BEG中，BG=，

222

BE＝3；

解：作E关于AC的对称点E，连接BE，

则PE+PB的最小值即为BE的长；

3

∵AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，

∴∠ACB＝30°，

∴∠EC