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研究生考试考研数学(一301)重点难点精练试题精析

一、选择题（共87题）

1、设函数fx=x3?3x

A.1

B.-1

C.2

D.0

答案：C

解析：首先，求函数的导数f′x=3x2?6x+4。然后，令f′x=0求得x=1或x=2

2、设函数fx=ex?

A.极大值1

B.极小值1

C.极大值0

D.极小值0

答案：D

解析：首先求fx的导数f′x=ex?2x。因为fx在x=0处取得极值，所以f′0=0。代入x=

3、设函数fx=ex?x，则

A.1

B.2

C.0

D.-1

答案：A

解析：要计算fx在x=0处的导数，首先求f

f

代入fx

f

f

f

f

由于eh当h接近0时的泰勒展开是1+h+h

f

f

f

当x=0时，f′0

4、已知函数fx=x

A.2

B.-2

C.0

D.不存在

答案：B

解析：首先对函数fx进行因式分解，得到fx=x?12x+2x

5、设函数fx=sin

A.fx在?

B.fx在?

C.fx在x

D.fx

答案：B

解析：

选项A错误，因为fx=sinx2不是单调函数。我们可以观察到随着x的增加，x2会以更快的速度增长，导致

选项B正确，因为对于所有的x，sinx2的值域总是被限制在?1,1之间，即无论x

选项C错误，因为f0=sin02=sin0=0，而我们知道

选项D错误，因为虽然sinx是一个周期函数，但当我们将x替换为x2时，函数的形式发生了变化，不再是标准的正弦波形式。特别地，sinx2的周期性被破坏了，因为它不会重复相同的模式，随着

综上所述，只有选项B正确。

6、设函数fx=lnx?12

A.极大值?

B.极小值?

C.极大值1

D.极小值0

答案：B

解析：

首先，我们需要求出函数fx的导数f

f

然后，令f′x=

1x?x=01x=x

接下来，我们检查x=1是否为极值点。由于f″

f

因为f″10，所以

最后，计算极大值f1

f

因此，函数fx在x=1处的极大值为?

7、设函数fx=0

A.x

B.x

C.x

D.x

答案：B

解析：根据微积分基本定理，如果函数fx是由一个确定的积分表达式定义的，即fx=axgtdt，那么fx的导数f′x可以通过将积分上限x直接代入被积函数gt来得到。因此，对于题目中给出的函数fx=0xt2+1sint

8、已知函数fx=x

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：首先求函数fx的导数f′x，得f′x=3x2?6x+4。令f′x=0，解得x1=1和x2=23

9、设函数fx在a,b上连续，在a,b内可导，且满足fa=

A.在a,c和c,b内至少各有一点d1

B.在a,b内至少有一点d，使得

C.在a,b内没有点d使得

D.函数fx在a

答案：B

解析：

本题考察的是罗尔定理的应用。罗尔定理是微分学中的一个重要定理，它说的是如果一个函数在一个闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，并且在这个区间的端点处的函数值相等（即fa=f

根据题目条件，fx满足了罗尔定理的所有前提条件：它在a,b上连续，在a,b内可导，并且fa=fb

选项A错误，因为它假设了两个不同的点d1和d

选项C显然是错误的，因为它与罗尔定理的结论相反。

选项D也不正确，因为题目中给的信息并不足以断定函数在整个a,b区间内的单调性。即使

综上所述，正确答案是B。

10、设函数fx=x3?

A.f

B.f

C.f

D.f′x在

答案：D

解析：为了证明fx在x

1、f′

2、f″00，这表示函数在

3、f′x在x=0两侧异号，这意味着当x从负数接近0时，f′

首先，我们计算f′x和

f

f

将x=0代入f′

f

f

这里f′0≠

现在检查选项D，当x从负数接近0时，f′x=3x2?3，此时f′x为负，因为3x

11、设函数fx=x

A.x

B.x

C.x

D.x

答案：A

解析：

为了找到给定函数的极值点，我们需要首先计算其一阶导数并找到导数等于零的点。对于函数fx

f

将导数设置为0以寻找可能的极值点：

3

我们可以解这个二次方程来找到x的值。让我们求解此方程。为了解二次方程3x2?

x

将a=3,b=?

x

现在，我将计算具体的值。计算得到的值为：

x

因此，我们有两个解：

所以可能的极值点是x=1和

f

计算二阶导数在两个点的值可以告诉我们它们分别是极大值还是极小值。如果f″x0，则该点是极大值；如果

对于x=

f

对于x=

f

因为f″10，我们知道在x=

因此，题目11的正确答案是A.x=1，这是函数在区间

12、设函数fx=1x+

A.fx在0

B.fx在0

C.fx在0,1

D.fx在0,1

答案：D

解析：首先求出fx的导数，f′x=?1x2+1x=x?1x