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二次函数与三角函数的图像与性质

一、二次函数的图像与性质

1.图像特点:二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。开口向

上的抛物线顶点在最低点,开口向下的抛物线顶点在最高点。

2.性质:二次函数的图像具有对称性,对称轴是抛物线的轴线,即x=

-b/2a。对称轴上的点关于抛物线对称。

3.顶点:二次函数的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。顶点是抛物线的

最高点或最低点,取决于a的正负。

4.零点:二次函数与x轴的交点称为零点。二次函数最多有两个零点。

5.开口方向:当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口

向下。

6.增减性:当a0时,随着x的增大,y值增大;当a0时,随着x

的增大,y值减小。

二、三角函数的图像与性质

1.正弦函数(sinx):

–图像特点:正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线,周期为

2π。

–性质:正弦函数的值域为[-1,1],在0°到π之间,正弦函数是

增函数;在π到2π之间,正弦函数是减函数。

2.余弦函数(cosx):

–图像特点:余弦函数的图像与正弦函数相似,也是一条周期性

波动的曲线,周期为2π。

–性质:余弦函数的值域为[-1,1],在0°到π之间,余弦函数是

减函数;在π到2π之间,余弦函数是增函数。

3.正切函数(tanx):

–图像特点:正切函数的图像是一条周期性波动的曲线,周期为

π。

–性质:正切函数的值域为全体实数,在每个周期内,正切函数

是增函数。

4.弧度制与角度制的转换:

–弧度制:πrad=180°。

–角度制:1°=π/180rad。

5.三角函数的定义:

–正弦函数:sinx=对边/斜边。

–余弦函数:cosx=邻边/斜边。

–正切函数:tanx=对边/邻边。

三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别

1.联系:二次函数与三角函数都是周期性函数,具有周期性波动的特点。

2.区别:二次函数的周期性是由方程的解的周期性决定的,而三角函数

的周期性是由函数本身的性质决定的。

3.联系:二次函数与三角函数的图像都具有对称性,但对称轴和对称中

心不同。

4.区别:二次函数的图像是一条抛物线,而三角函数的图像是波动的曲

线。

5.联系:二次函数与三角函数的值域都是全体实数或限定在一定区间内。

6.区别:二次函数的增减性取决于a的正负,而三角函数的增减性取

决于函数的定义域和值域。

习题及方法:

1.习题:已知二次函数y=-2x^2+4x-3,求该函数的顶点坐标和开口

方向。

答案:顶点坐标为(1,5/2),开口方向向下。

解题思路:通过配方法将二次函数转化为顶点式,得到y=-2(x-1)^2+5/2,

从中可以直接读出顶点坐标和开口方向。

2.习题:已知二次函数y=x^2-6x+9,求该函数的对称轴和最大值。

答案:对称轴为x=3,最大值为9。

解题思路:通过配方法将二次函数转化为顶点式,得到y=(x-3)^2,从中可

以直接读出对称轴和最大值。

3.习题:已知二次函数y=-3x^2+6x+2,求该函数的零点。

答案:零点为x=-2/3和x=1

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