人教版数学七下期末复习训练专题：巧解平行线中的拐点问题（解析版）.doc

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》

专题巧解平行线中的拐点问题

题型一过一个拐点作平行线求角度

题型一过一个拐点作平行线求角度

【例题1】（2022春?内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）

A．55° B．75° C．80° D．105°

【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．

【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，

∵AB∥EM．

∴∠HEM＝∠1＝45°．

∵AB∥CD．

∴EM∥CD．

∴∠GEM＝∠2＝30°．

∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．

故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．

解题技巧提炼

当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，遇到一个拐点时，只需过折线的“拐点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.

【变式1-1】（2022春?香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝度．

【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．

【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：

∵AB∥DE，

∴AB∥CF∥ED．

AB∥CF?∠1＝180°﹣∠B＝30°，

CF∥ED?∠2＝180°﹣∠D＝35°，

∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．

故填65°．

【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．

【变式1-2】（2022?博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）

A．360° B．300° C．270° D．180°

【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．

【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，

∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．

故选：A．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．

【变式1-3】（2022春?信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是，根据这个思路可得∠AEC＝．

【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．

【解答】解：过E点作EF∥CD，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），

∴∠EAB+∠AEF＝180°，

∵EF∥CD，

∴∠CEF+∠ECD＝180°，

∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，

∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，

∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．

故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．

【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．

【解答】解：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥DE∥CF，

∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，

∵∠1＝120°，∠2＝110°，

∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，

∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，

＝180°﹣60°﹣70°＝50°，

答：∠3的度数是50°．

【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．

【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．

【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．

【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，

∵CF∥AB

∴∠3＝∠1＝25°

∵AB∥DE，

∴DF∥CE，

∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，

∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣