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第4章4.5函数的应用(二)人教A版2019必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解
学习目标1.解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
目录CATALOG01.函数的零点与方程的解03.题型强化训练02.函数零点存在定理04.小结及随堂练习
01函数的零点与方程的解4.5.1函数的零点与方程的解
导入新知在“函数的应用(一)”中,通过一些实例,我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程,学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法),再结合实例,更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程,学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月.
二次函数的零点我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程,知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.例如,方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3.其图像与x轴的公共点坐标为(2,0),(3,0)y63xO2即二次函数f(x)=x2-5x+6的零点为其图像与x轴公共点的横坐标.导入新知
应用新知我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程,知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点,像lnx十2x-6=0这样不能用公式求解的方程,是否也能采用类似的方法,用相应的函数研究它的解的情况呢?与二次函数的零点一样,对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.这样函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点的横坐标.
应用新知函数y=f(x)的零点?方程f(x)=0的实数解?函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标.代数法几何法由上述的等价关系我们知道,求方程f(x)=0的实数解,就是确定函数y=f(x)的零点,一般地,对于不能用公式求解的方程f(x)=0,我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来,利用函数的图象和性质找出零点,从而得到方程的解.下面从考察二次函数存在零点时函数图像的特征,以及零点附近函数值的变化规律入手分析.
应用新知函数y=f(x)方程f(x)=0的根函数f(x)的零点函数f(x)的图象与x轴的交点y=x2-3x+2x1=1,x2=21和2(1,0)(2,0)y=x+1x1=x2=11(1,0)y=x2-2x+3无实数根无零点无y=2x-4x=22(2,0)y=lgxx=11(1,0)y=3x-1x=00(0,0)方程x2-4=0的根是2和-2函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标是2和-2函数f(x)=x2-4的零点是2和-2
总结新知1.函数零点的定义:方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点。注:①零点是数,不是点。如:函数f(x)=x2-2x-3的零点是-1和3;函数f(x)=lgx的零点是1.②1.函数零点的定义方程f(x)=0的根函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标函数f(x)的零点(根的个数)(零点个数)(交点个数)
02函数零点存在定理4.5.1函数的零点与方程的解
学习新知对于二次函数f(x)=x2-2x-3,观察它的图象,发现它在区间[2,4]上有零点.这时,函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2,0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系?再任意画几个函数的图象,观察函数零点所在区间,以及这一区间内函数图象与x轴的关系,并探究用f(x)的取值刻画这种关系的方法.探究211-22-134-1-2-3-40yx
学习新知可以发现,在零点附近,函数图象是连续不断的,并且“穿过”x轴.函数在端点x=2和x=4的取值异号,即f(2)f(4)0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的一个根.211-22-134-1-2-3-40yx同样地,f(-2)f(0)0,函数f(x)=x2-2x-3在(-2,0)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.
学习新知如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y
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