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专题2.2函数的单调性与最值
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
知识点一函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
知识点二函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
【特别提醒】
1.函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=-f(x),y=eq\f(1,f(x))的单调性相反.
2.“对勾函数”y=x+eq\f(a,x)(a0)的单调增区间为(-∞,-eq\r(a)),(eq\r(a),+∞);单调减区间是[-eq\r(a),0),(0,eq\r(a)].
考点一确定不含参函数的单调性(区间)
【典例1】(2019·河北石家庄二中模拟)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是()
A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))和[2,+∞)
C.(-∞,1]和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),2)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(3,2)))和[2,+∞)
【答案】B
【解析】y=|x2-3x+2|
=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-3x+2,x≤1或x≥2,,-?x2-3x+2?,1<x<2.))
如图所示,函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))和[2,+∞).
【方法技巧】函数不含有参数.解决此类问题时,首先确定定义域,然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。
【变式1】(2019·黑龙江大庆实验中学模拟)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
【答案】D
【解析】函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-80,解得x4或x-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).
考点二确定含参函数的单调性(区间)
【典例2】(2019·大连二十四中模拟)讨论函数f(x)=eq\f(ax,x-1)(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
【解析】方法一:(定义法)设-1<x1<x2<1,
f(x)=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x-1+1,x-1)))=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,x-1))),
则f(x1)-f(x2)=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,x1-1)))-aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,x2-1)))
=eq\f(a?x2-x1?,?x1-1??x2-1?).
由于-1<x1<x2<1,
所以x2-x10,x1-1<0,x2-1<0,
故当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
方法二:(导数法)f′(x)=eq\f(?ax?′?x-1?-ax?x-1?′,?x-1?2)
=eq\f(a?x-1?-ax,?x-1?2)=-eq\f(a,?x-1?2).
当a0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f′(x)0,函数f(x)在(-1,1)上
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