高考理数备考-考点32 直线、平面垂直的判定及其性质.pdf

专题32直线、平面垂直的判定及其性质

(1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理：

·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直．

·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理,并能够证明：

·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。

（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

一、直线与平面垂直

1．定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线ｌ与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形

表示如下：

【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语,与“无数条直线”不是同义

语．

2.直线与平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

文字语言

简记为：线线垂直⇒线面垂直

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图形语言

符号语言l⊥a,l⊥ｂ,a⊂α，b⊂α,abP⇒l⊥α

作用判断直线与平面垂直

【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直

线垂直，而不是任意的两条直线．

３．直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行。

文字语言

简记为：线面垂直⇒线线平行

图形语言

a

符号语言⇒a∥b

b

①证明两直线平行;

作用

②构造平行线．

4．直线与平面所成的角

（１)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和

平面的交点叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。

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平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角．

(2）规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内,我

π

们说它们所成的角等于0。因此，直线与平面所成的角α的范围是[0,]。

2

５．常用结论（熟记）

(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线。

（3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

二、平面与平面垂直

1．定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，

记作⊥.图形表示如下：

2．平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

文字语言

简记为：线面垂直⇒面面垂直

图形语言

符号语言l⊥α，l⇒α⊥β

作用判断两平面垂直

3.平面与平面垂直的性质定理