专题17.2 勾股定理中的最短路线与翻折问题 专题讲练（解析版）.pdfVIP

专题17.2勾股定理中的最短路线与翻折问题专题讲练

勾股定理中的最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾

股定理求解。

题型1.圆柱有关的最短路径问题

【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最

短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需

要用底面圆周长的一半进行计算。

要点总结：

1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；

2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

12022··8cm1cm

例．（四川成都八年级期中）如图所示，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底

AB________cmπ3

面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为．（取）

【答案】73

AB8cm

【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆

πrABAB

周长的一半为，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长．

【详解】解：如图所示，

AB8cmpr=3cm

圆柱展开图为长方形，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半为，

ABAB=22cm

蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理得：8+3=73（）．

∴cmπ3

蚂蚁经过的最短距离为73．（取）故答案为：73．

【点睛】本题考查了平面展开图－最短路径问题，解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽

的值，然后用勾股定理计算即可．

22022··12cm24cm

例．（广东茂名九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器外侧距下底

1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行

______cm

的最短距离为．

15

【答案】

AB

【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定、的位置，利用勾股定理即可求解；

AE=1cm，BD=2cm，CD=12cm，AF^CD

【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；

24cmEC=12cm，AF^CDAE=CF=1cm

∵底面周长为，∴∵，∴，

∴2222cm，故答案为：15．

AB=AF+BF=12