专题六 规范答题示例6.pptx

函数与导数板块二专题六规范答题示例6

典例6(12分)(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.审题路线图(1)求f′(x)→分别令f′(x)0，f′(x)0求解→得到f(x)的单调区间(2)f(x)＝0→变形得－3a＝0→构造函数g(x)＝－3a→分析g(x)的单调性，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增→结合零点存在性定理→证得g(x)只有一个零点→f(x)只有一个零点

规范解答·分步得分

(2)证明因为x2＋x＋10在R上恒成立，当且仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.………………8分故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.…………………9分综上，f(x)只有一个零点.……………12分

构建答题模板第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x).第二步定区间：根据f′(x)的符号确定函数的单调性.第三步寻条件：零点个数问题转化为函数的单调性与零点存在性综合问题.第四步写步骤：通过导数探求函数的单调性，结合零点存在性定理进一步严谨解题思路.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法，新函数的构造是否合理等.

评分细则第(1)问：正确求出f′(x)得1分；解出f′(x)0的区间得1分；解出f′(x)0的区间得1分；正确写出f(x)的单调区间得1分.第(2)问：将函数等价转化为方程得1分；构造函数g(x)并正确求导得1分；正确判断g′(x)的符号，得出g(x)是增函数得2分；从而g(x)至多有一个零点即f(x)至多有一个零点得1分；判断R内两个函数值的符号，根据零点存在性定理得出一个零点得2分(注只判断对一个得1分)；综上得出正确结论得1分.

跟踪演练6(2019·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx－.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；解f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞).所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点x1，即f(x1)＝0.综上，f(x)有且仅有两个零点.

(2)设x0是f(x)的一个零点，证明：曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.

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