中值定理及导数的应用.ppt

YANGZHOUUNIVERSITYSouthernMedicalUniversityYANGZHOUUNIVERSITYSouthernMedicalUniversity二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用机动目录上页下页返回结束中值定理及导数的应用第三章拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.微分中值定理的主要应用研究函数或导数的性态添加标题证明恒等式或不等式添加标题证明有关中值问题的结论添加标题机动目录上页下页返回结束3.有关中值问题的解题方法若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法找辅助函数.若结论中含两个或两个以上的中值,柯西中值定理.若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.贰壹叁利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可考虑用必须多次应用中值定理.例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.机动目录上页下页返回结束例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点机动目录上页下页返回结束例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证机动目录上页下页返回结束例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即机动目录上页下页返回结束例5.机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例6.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束二、导数应用增减,解决最值问题极值,其他应用:凹凸,补充定理(见下页)拐点,相关变化率;渐近线,目标函数的建立与简化曲率最值的判别问题研究函数的性态:求不定式极限;几何应用;证明不等式;研究方程实根等.设函数在上具有n阶导数,且则当时证:令则利用在处的n－1阶泰勒公式得因此时定理.机动目录上页下页返回结束的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,机动目录上页下页返回结束单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;.在区间上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,