专题05 分式方程、一元二次方程及其应用（解析版）.docx

专题05分式方程、一元二次方程及其应用

考点

五年考情（2020-2024）

命题趋势

考点1分式方程解法

（5年1考）

2023·山西卷：分式方程的解法

1、分式方程的解法，解题时需注意分式方程根的检验，同时，也应掌握在具体问题中利用等量关系列出分式方程，解决实际问题。在复习时注意计算，避免因为计算失误出现失分.

2、中考中一元二次方程主要考察点：方程解法、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的实际应用等.

考点2分式方程与实际应用

（5年2考）

2022·山西卷、2021·山西卷：分式方程的应用

考点3一元二次方程与实际应用

（5年3考）

2020·山西卷：一元二次方程的应用

2021·山西卷：一元二次方程实际问题---日历问题

2022·山西卷：二次函数与一元二次方程的关系

考点1分式方程解法

（2023·山西·中考真题）解方程：．

【答案】

【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．

【详解】解：原方程可化为．

方程两边同乘，得．

解得．

检验：当时，．

∴原方程的解是．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．

考点2分式方程与实际应用

（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．

【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．

【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．

【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．

根据题意，得．

解，得．

经检验，是原方程的根．

答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．

【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

（2021·山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．

【答案】25分钟

【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可．

【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟．

根据题意，得．

解得：．

经检验，是原方程的解．

答：走路线一到达太原机场需要25分钟．

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根．

考点3一元二次方程与实际应用

（2020·山西·中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为．

【答案】

【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．

【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,

由题意得:,

解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得:(10－2x)(6－x)=24,

整理得:2x2－11x+18=0．

解得x=2或x=9(舍去)．

故答案为2．

【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．

（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

【答案】5

【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．

【详解】解：设这个最小数为．

根据题意，得．

解得，（不符合题意，舍去）．

答：这个最小数为5．

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．

（2022·山西·中考真题）阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点