专题13 二次函数综合压轴题（解析版）.docx

专题13二次函数综合压轴题

考点

五年考情（2020-2024）

命题趋势

考点1二次函数综合压轴题

（5年5考）

2024·山西：二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题

2023·山西：相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)

2022·山西：相似三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算

2021·山西：面积问题(二次函数综合)

2020·山西：求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解

中考试卷中，二次函数综合题（代几综合题、解决实际问题）属于必考题目，这类试题常以二次函数为背景，综合考察二次函数的性质、函数与方程和不等式联系、全等三角形、相似三角形、平行四边形及特殊平行四边形、圆、三角函数、动点最值问题等，该题型综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结解题技巧，灵活运用数形结合及分类讨论思想，举一反三。

考点1二次函数综合压轴题

（2024·山西）综合与实践

问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．

方案设计：如图2,AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且

第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°．用篱笆沿线段AC，BC分隔出

第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用?笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．

方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：

（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；

（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．

【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．

∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6，

∴OA=OB=1

∴点B的坐标为(3

∵OP=9,∴点P的坐标为

∵点P是抛物线的顶点，

∴设抛物线的函数表达式为y=ax

∵点B(3,

∴9a+9=0．解，得a=?1．

∴抛物线的函数表达式为y=?x

（2）解：∵点D，E在抛物线y=?x

∴设点E的坐标为(m,

∵DE//AB，交y轴于点

∴DF=EF=m,

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90

∴OC=1

∴CF=OF?OC=?m

根据题意，得DE+CF=6，

∴?m

解，得m1

∴m=2.

答：DE的长为4米，CF的长为2米.

（3）解：332

【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题

【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称

直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3

设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）

∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6

∴矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+32）2+332

∴k=-32，矩形周长最大值为332.

【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式y=?x2+9?(?3?x?3)．；（2）设点E的坐标为(m,?m2+9)．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合DE+CF=6得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k

（2023·山西·中考真题）如图，