函数值域的常见求法8大题型（学生版）.pdf

函数值域的求法8大题型

命题趋势

函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学

的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在

复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值

域类型的内容。

满分技巧

一、求函数值域的常见方法

1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；

2.逐层法：求f(f⋯f(x))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的

12n

值域；

x2

3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y=ax+bx+c(a≠0)”或“y=a[f(x)]+bf

(x)+c(a≠0)”的函数均可用配方法求值域；

4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有

ax+bcx+d

(1)y=或y=的结构，可用“cx+d=t”换元；

cx+dax+b

(2)y=ax+b±cx+d(a,b,c,d均为常数，a≠0,c≠0)，可用“cx+d=t”换元；

22ππ

(3)y=bx±a-x型的函数，可用“x=acosθ(θ∈[0,π])”或“x=asinθθ∈-,”换元；

22

ax+bax+ba

5.分离常数法：形如y=(ac≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y==+

cx+dcx+dc

bc-ad

，然后求值域；

2d

cx+c

b

6.基本不等式法：形如y=ax+(ab0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函

x

数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a+b≥2ab求函数的值域(或最值)时，应满

足三个条件：①a0,b0；②a+b(或ab)为定值；③取等号的条件为a=b，三个条件缺一不可；

7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)

(1)形如y=ax+b-cx+d(ac0)的函数可用函数单调性求值域；

b

(2)形如y=ax+的函数，当ab0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数

x

求解；

b

当ab0时，y=ax+在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

x

asinxacosx

8.函数的有界性法：形如y=(或y=)(其中a,b,c不为0)的函数求值域或最值，

c+bsinxc+bcosx