微专题01 平面向量(原卷版) .pdfVIP

微专题01平面向量

秒杀总结

结论1极化恒等式．

1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

2222

|ab||ab|2(|a||b|)

证明：不妨设ABa,ADb,则ACab，DBab，



22222

ACACaba2abb（1）



22222

DBDBaba2abb（2）

（1）（2）两式相加得：



222222

ACDB2ab2ABAD

2．极化恒等式：

1



22



上面两式相减，得：abab————极化恒等式



4

1

22



（1）平行四边形模式：abACDB

4

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差

1

的。

4

1

（2）三角形模式：abAM2DB2（M为BD的中点）

4

A

BMC

结论2矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等。

2222

已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：OAOCOBOD。

【证明】（坐标法）设ABa,ADb，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，

则B(a,0),D(0,b),C(a,b)，设O(x,y)，则

222222

OAOC(xy)[(xa)(yb)]

222222

OBOD[(xa)y][x(yb)]

2222

OAOCOBOD

结论3三点共线的充要条件



OAOBOP

设、、是三个不共线向量，则A、B、P共线存在R使OP(1)OAOB．

1