专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆）（原卷版）.pdf

模块二常见模型专练

专题32几何图形中的最值问题（含隐圆）

最值问题一阿氏圆问题

12020··RtVABCABAC4EFABACP

例（广西中考真题）如图，在中，＝＝，点，分别是，的中点，点

1

AEFBPCPBP+CP_____

是扇形的EF上任意一点，连接，，则2的最小值是．

例2（2019·山东·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于

2

A，C两点，抛物线y＝x+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

1

32P2⊙BPCPAPPC+PA

（）如图，若点是半径为的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的

2

值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先

由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

模型解读：

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、

PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；

2：计算连接线段OP、OB长度；

3：计算两线段长度的比值；

4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：

5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．

本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2）在线段OB上截取OC使OC＝k·r，则可说明△BPO

与△PCO相似，即k·PB＝PC．

∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图3），

时AC线段长即所求最小值．

12022··ABCD4⊙B2P

【变式】（全国九年级专题练习）如图，已知正方形的边长为，的半径为，点是

1

⊙BPDPC_____

上的一个动点，则﹣的最大值为．

2

【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，

6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.

32022··ÐACB=60°2O