专题32 圆的综合练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.pdf

专题32圆的综合练习（提优）

一．选择题

1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为

N，分别交AC、BC于E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）

A．3B．4C．4.8D．5

【分析】首先延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得

AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后

由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

【解答】解：延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P，

∵AE＝5，EC＝3，

∴AC＝AE+CE＝8，

∵四边形ABCD是菱形，

1

∴OA＝OC=AC＝4，AC⊥BD，

2

∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，

∵以OB为直径画圆M，

∴AC是⊙M的切线，

∵DN是⊙M的切线，

∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，

∴∠DNM＝∠DOE＝90°，

∵∠MDN＝∠EDO，

∴△DMN∽△DEO，

∴DM：MN＝DE：OE，

1

∵MN＝BM＝OM=OB，

2

∴DM＝OD+OM＝3MN，

∴DE＝3OE＝3，

∵OE∥BP，

∴OD：OB＝DE：EP，

∵OD＝OB，

∴DE＝EP＝3，

∴BP＝2OE＝2，

∵OE∥BP，

∴△EFC∽△PFB，

∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，

∴EF：EP＝3：5，

3

∴EF＝EP×=1.8，

5

∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．

故选：C．

【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质．注

意准确作出辅助线是解此题的关键．

2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝22，D是AC边上一动点，连接BD，

以AD为直径的圆交BD于E，则线段CE长度的最小值为（）

A．22―2B．5―2C．5―1D．3―1

【分析】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝2，再根据圆周角定理，由AD

为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到E在以AB为直径的⊙O上，于是当O、E、C

共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=5，从而得到CE的最小值为5―

1．

【解答】解：连接AE，如图1，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝22，

∴AB＝AC＝2，

∵AD为直径，

∴∠AED＝90°，

∴∠AEB＝90°，

∴E在以AB为直径的⊙O上，

∵⊙O的半径为1，

连接OE，OC，

1

∴OE=AB＝1

2

在Rt△AOC中，

∵OA＝1，AC＝2，

∴OC=2+2=5，

由于OC=5，OE＝1是定值，

E在线段OC上时，CE最小，如图2，

∴CE＝OC﹣OE=5―1，

即线段CE长度的最小值为5―1．

故选：C．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算

线段的长．解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离

问题．

3．如图，AB是⊙O的直径