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年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案

考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。

2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。

3、解题书写不要超出装订线。

4、不能使用计算器。

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则

A．(－2，2)．B[－2，2]．C．D

2．若，则=()

A．－1．1B．C．D

3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的

取值区间是()

A．[1，2]．[2B，4]．[1C，3]．[3D，6]

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱

AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面

ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直

线条数是()

A．1．2B

C．3．4D

5．等腰直角三角形ABC中，斜边BC=，一个

椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且

椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上）()

A．．B

C．．D

（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）

6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的

三角形个数为()

A．1372．2024B．3136C．4495D

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。）

7．等差数列的前m项和为90，前2m项和为360，则前4m项和为_____.

8．已知，，且，则的值为_________.

9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个

人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.

10．在ABC中，AB=，AC=，BC=，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能

写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=________.

11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过

顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.

12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现

1/6

的点数之和大于，则算过关。则连过前3关的概率为_________.

三、解答题（本大题共4小题，满分78分要求解答要有必要的过程）

13．（本小题满分16分）

是否存在最小的正整数t，使得不等式

对任何正整数n恒成立，证明你的结论。

14．（本小题满分18分）

设x，y，z为正实数，求函数

的最小值。

2/6

15．（本小题满分22分）

设A、B分别为椭圆和双曲线的公共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于

A、B的动点，且满足。设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4.

(1)求证：k1+k2+k3+k4=0；

(2)设F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点。若，求的值。

16．（本小题满分22分）

将m位性别相同的客人，按如下方法入住A1、A2、…、An共n个房间。首先，安排1位

客人和余下的客人的入住房间A1；然后，从余下的客人中安排2位和再次余