一阶线性微分方程.ppt

第四节一阶线性微分方程一阶线性微分方程贝努利方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:称为一阶齐次线性方程.称为一阶非齐次线性方程.例如非齐次对应地一阶齐次线性方程的通解为求一阶非齐次线性微分方程通解的步骤一阶线性齐次方程使用分离变量法求对应地一阶齐次线性方程的通解(使用分离变量法)非齐次方程通解形式与对应地齐次方程通解相比:常数变易法把对应地齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换求一阶非齐次线性方程的通解0201030405其中的u为x的待定函数.假设一阶非齐次线性微分方程的解为积分得123一阶非齐次线性微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解注1一阶非齐次线性微分方程通解的结构是由对应地齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而成的.这也是线性微分方程解的结构的一个性质.注2把对应地齐次线性方程通解中的任意常数c变易为待定函数u(x),使其满足非齐次线性方程而求出的u(x),从而得到非齐次线性方程通解的方法称为“常数变易法”是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.解例例求方程解将方程改写为的通解.先求齐方程的通解分离变量,得两端积分并整理,得齐方程的通解故原方程的通解为两端积分,得y=(ex+c)(x+1)2将y与y’代入方程,并整理,得用常数变易法求非齐次线性方程的通解求方程(sin2y+xcoty)dy=dx的通解及满足初始条件y|x=1=π/2的特解.01解将方程改写为02所以由非齐次线性方程的通解公式,得03练习04故满足初始条件的特解为x=siny(1-cosy)将初始条件x=1,y=π/2代入上式,得c=1解变形为：对应齐次方程通解是练习先求解齐次方程是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简积分得通解第二步:用常数变异法解非齐次方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式01方程为线性微分方程.02方程为非线性微分方程.03解法:需经过变量代换化为线性微分方程.04具体做法如下：05二、贝努利方程求出通解后，将代入即得代入上式即解例01例求方程y’=xy+x3y2的通解.03所以由非齐次线性方程的通解公式,得02解将方程改写为*