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§8.6立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
必威体育精装版考纲1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
1.两个重要向量
直线的
方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有多数个
平面的
法向量
直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.明显一个平面的法向量有多数个,它们是共线向量
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2?n1=λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?m·n=0
l⊥α
n∥m?n=λm
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m?n=λm
α⊥β
n⊥m?n·m=0
概念方法微思索
1.直线的方向向量如何确定?
提示l是空间始终线,A,B是l上随意两点,则eq\o(AB,\s\up6(→))及与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量.
2.如何确定平面的法向量?
提示设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a=0,,n·b=0.))
题组一思索辨析
1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.(×)
(2)平面的单位法向量是唯一确定的.(×)
(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.(√)
(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(√)
(5)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.(×)
(6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(×)
题组二教材改编
2.设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为__________;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________.
答案α⊥βα∥β
解析当v=(3,-2,2)时,
u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0?α⊥β.
当v=(4,-4,-10)时,v=-2u?α∥β.
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.
答案垂直
解析以A为原点,分别以eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→)),eq\o(AA1,\s\up6(→))所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,1,\f(1,2))),Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2),0)),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0,1)),
eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,1,\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(1,2),1))=0,
∴ON与AM垂直.
题组三易错自纠
4.直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有()
A.l∥α B.l⊥α
C.l与α斜交 D.l?α或l∥α
答案B
解析由a=-n知,n∥a,则有l⊥α,故选B.
5.已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则()
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不对
答案C
解析∵n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,∴α,β既不平行,也不垂直.
6.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是()
A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3)))
答案C
解析
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