鲁京津琼专用2025版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2函数的单调性与最值教案含.docxVIP

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§2.2函数的单调性与最值

必威体育精装版考纲1.通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和探讨函数的性质．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1，x2

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意

条件

(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

概念方法微思索

1．在推断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？

提示对?x1，x2∈D，eq\f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0?f(x)在D上是增函数，减函数类似．

2．写出对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a0)的增区间．

提示(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)．

题组一思索辨析

1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)

(3)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)

(4)假如一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)

(5)全部的单调函数都有最值．(×)

题组二教材改编

2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．

答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))

3．函数y＝eq\f(2,x－1)在[2,3]上的最大值是______．

答案2

4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

答案(－∞，2]

解析由题意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，∴m≤2.

题组三易错自纠

5．函数y＝(x2－4)的单调递减区间为________．

答案(2，＋∞)

6．若函数f(x)＝|x－a|＋1的增区间是[2，＋∞)，则a＝________.

答案2

解析∵f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)，

∴a＝2.

7．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________．

答案[－1,1)

解析由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋12a，))解得－1≤a1.

8．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x1))的最大值为________．

答案2

解析当x≥1时，函数f(x)＝eq\f(1,x)为减函数，

所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；

当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.

故函数f(x)的最大值为2.

题型一确定函数的单调性

命题点1求函数的单调区间

例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

答案D

解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－80，解得x4或x－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．依据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．

(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．

答案[－1,0]，[1，＋∞)

解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

二次函数的图象如图．

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．

命题