专题30 圆幂定理（解析版）.pdf

专题30圆幂定理

模型的概述：

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角读数。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。

圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质与比例线段相关。

相交弦定理模型：如左图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P,则AP•DP=BP•CP

CCMC

AAA

22

134134

PPP

BBBO

ODODD

N

证明：如中图，连接AB、CD

在△APB和△CPD中

∠1=∠2（同弧所对圆周角相等）∴△APB∽△CPD∴=则AP•DP=BP•CP

∠3=∠4

【进阶】如右图，OP所在直线与⊙O交于M、N两点，r为⊙O的半径，则

AP•DP=BP•CP=MP•NP=(r-OP)(r+OP)=2―2

割线定理模型：若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则AP•BP=CP•DP

PPP

AAA

3

C2C1C

2

BOB1OBO

DDD

?].’=

证明（方法一）：如中图，连接AC、BD

∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠1=∠3

在△APC和△DPB中∠1=∠3，∠P=∠P∴△APC