专题33 三角形的四心-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdf

专题33三角形的四心

一、三角形的外心

【学霸笔记】

1.三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心。

如图，设O是ABC的外心，则：

（1）OA=OB=OC.

（2）∠BOC=2∠BAC；∠AOC=2∠ABC；∠AOB=2∠ACB.

【典例】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠

CAD＝60°，DC＝DE．

求证：

（1）AB＝AF；

（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．

【解答】证明：（1）∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC

＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，

而∠F＝60°﹣∠ACF，

因为∠ACF＝∠ADE，

所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．

（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，

又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，

所以∠ABD＝∠AEB，

所以AB＝AE．

∵AB＝AF，

∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．

【巩固】已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是AD的中点，连接BD并延

长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q，求证：点P是△ACQ的外心．

【解答】证明：∵C是AD的中点，

∴AC=CD，

∴∠CAD＝∠ABC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∴∠CAD+∠AQC＝90°，

又∵CE⊥AB，

∴∠ABC+∠PCQ＝90°，

∴∠AQC＝∠PCQ，

∴在△PCQ中，PC＝PQ，

∵CE⊥直径AB，

∴AC=CE，

∴AE=CD，

∴∠CAD＝∠ACE．

在△APC中，有PA＝PC，

∴PA＝PC＝PQ，

∴P是△ACQ的外心．

二、三角形的内心

【学霸笔记】

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心，

如图，设I是ABC的内心，则：

（1）I到三角形各边距离相等；

（2）

【典例】已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如

图）．

求证：F为△CDE的内心．

【解答】证明：如图，连DF，则由已知，

1

∵∠CDF＝∠CAB＝45°=∠CDE，

2

∴DF为∠CDE的平分线，

连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD﹣45°＝∠CDB﹣45°＝∠FDB，

得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，

从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．

∵F是△CDE上两条角平分线的交点，

∴就是△CDE的内心．

1

【巩固】已知M是△ABC内一点，且∠BMC＝90°+∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，

2

试证明：点M是△ABC内切圆的圆心．

【解答】证明：如图，设∠BAC＝2α，则∠BMC＝90°+α，

∠BOC＝2∠BPC＝2（180°﹣∠BMC）＝2[180°﹣（90°+α）]＝180°﹣2α，

∴∠BAC+∠BOC＝180°，∴A、B、O、C四点共圆，

于是∠ABC＝∠AOC＝2∠MPC，

∵∠MPC＝∠MBC，∴∠ABC＝2∠MBC，

1

即∠ABC＝∠MBC，∴BM平分∠ABC．

2

同理可证CM平分∠ACB，

∴点M是△ABC的内心．

三、三角形的垂心

【学霸笔记】

三角形三边高所在直线的交点叫三角形的垂心，

如图，设H是△ABC的垂心，则：

（）AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB.

（2）A,F,H,E；B,D,H,F；C,E,H,D；B，C,E,F