专题17.6 勾股定理章末八大题型总结（培优篇）（人教版）（原卷版）.pdfVIP

专题17.6勾股定理章末八大题型总结（培优篇）

【人教版】

【题型1勾股数的运用】1

【题型2勾股树的探究】2

【题型3由勾股定理在坐标系中求距离】3

【题型4由勾股定理探究图形面积】5

【题型5由勾股定理求线段长度】6

【题型6由勾股定理证明线段之间的关系】8

【题型7勾股定理中的规律探究】9

【题型8由勾股定理求最值】11

【题型1勾股数的运用】

【例1】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦

隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦

与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类

2≥3

勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（）

22

−12+2+12+3

A．B．C．D．

【变式1-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组，，是勾股数的是（）

A．=30，=40，=50B．=1，=1，=2

C．=3，=4，c＝5D．=7，=14，=15

【变式1-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数

为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些

规律；

3，4，5；9，40，41；

5，12，13；……；

7，24，25；，，．

=11

(1)当时，求，的值

(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．

【变式1-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，

2

这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即=+

2，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m

为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；

⑤若=22+2,=1+2,=22+2+1，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜

边数的积是广义斜边数．依次正确的是（）

A．①②③B．①②④⑤C．③④⑤D．①③⑤

【题型2勾股树的探究】

【例2】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三

角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树

而得名．假设下图分别是第一代勾股树、