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离散数学试题（A卷答案）

一、（10分）证明(A∨B)(P∨Q)，P，(BA)∨PA。

证明：(1)(A∨B)(P∨Q)P

(2)(P∨Q)(A∨B)T(1)，E

(3)PP

(4)A∨BT(2)(3)，I

(5)(BA)∨PP

(6)BAT(3)(5)，I

(7)A∨BT(6)，E

(8)(A∨B)∧(A∨B)T(4)(7)，I

(9)A∧(B∨B)T(8)，E

(10)AT(9)，E

二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4

种判断都是正确的：

(1)甲和乙只有一人参加；

(2)丙参加，丁必参加；

(3)乙或丁至多参加一人；

(4)丁不参加，甲也不会参加。

请推出哪两个人参加了围棋比赛。

解符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。

依题意有，

(1)甲和乙只有一人参加，符号化为AB(A∧B)∨(A∧B)；

(2)丙参加，丁必参加，符号化为CD；

(3)乙或丁至多参加一人，符号化为(B∧D)；

(4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为DA。

所以原命题为：(AB)∧(CD)∧((B∧D))∧(DA)

((A∧B)∨(A∧B))∧(C∨D)∧(B∨D)∧(D∨A)

((A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧B∧D))∧((B∧D)∨(B∧A)∨(D∧

A))

(A∧B∧C∧D)∨(A∧B∧D)∨(A∧B∧C∧D)T

但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故A∧B∧C∧D为F。所以只有：(A∧B∧C∧

D)∨(A∧B∧D)T，即甲、丁参加了围棋比赛。

三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。

(1)x(P(x)Q(x))P

1

(2)P(y)Q(y)T(1)，US

(3)xP(x)P

(4)P(y)T(3)，ES

(5)Q(y)T(2)(4)，I

(6)xQ(x)T(5)，EG

解(4)中ES错，因为对存在量词限制的变元x引用ES规则，只能将x换成某个个体常元c，而不能

将其改为自由变元。所以应将(4)中P(y)改为P(c)，c为个体常元。

正确的推理过程为：

(1)xP(x)P

(2)P(c)T(1)，ES

(3)x(P(x)Q(x))P