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离散数学4习题答案

离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。

在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以巩固

知识，提高思维能力。在本文中，我将为大家提供离散数学第四章的一些习题

答案，希望对大家的学习有所帮助。

1.习题1：证明集合A和B的幂集具有相同的基数。

解答：我们知道，集合A的幂集是由A的所有子集构成的集合。假设A的基数

为n，那么A的幂集的基数为2^n。同理，集合B的基数为m，那么B的幂集

的基数为2^m。我们需要证明2^n=2^m。

根据集合的定义，两个集合的基数相等意味着存在一一对应的关系。我们可以

构造一个函数f：A→B，使得对于A中的每个元素a，都有f(a)=b，其中b是B

中的某个元素。由于A和B的基数相等，所以函数f是一一对应的。

根据幂集的定义，A的幂集中的每个子集都是A中的元素。我们可以构造一个

函数g：P(A)→P(B)，使得对于A的每个子集X，都有g(X)=f(X)，其中f(X)是B

中的某个子集。同样地，由于A和B的基数相等，所以函数g是一一对应的。

因此，我们可以得出结论：A的幂集和B的幂集具有相同的基数，即

2^n=2^m。

2.习题2：证明任意两个自然数之和是偶数的充要条件是这两个自然数的奇偶

性相同。

解答：我们需要证明两个命题：“若两个自然数之和是偶数，则这两个自然数的

奇偶性相同”以及“若这两个自然数的奇偶性相同，则它们之和是偶数”。

证明第一个命题：假设两个自然数a和b的和是偶数。根据偶数的定义，偶数

可以被2整除，即存在一个整数k，使得a+b=2k。我们可以分别讨论a和b的

奇偶性。

如果a是偶数，那么存在一个整数m，使得a=2m。代入等式a+b=2k得到

2m+b=2k，整理得到b=2(k-m)。由于k和m都是整数，所以k-m也是整数，

即b是偶数。

如果a是奇数，那么存在一个整数n，使得a=2n+1。代入等式a+b=2k得到

2n+1+b=2k，整理得到b=2(k-n)-1。由于k和n都是整数，所以k-n也是整数，

即b是奇数。

综上所述，无论a和b的奇偶性如何，它们的和都是偶数。因此，两个自然数

之和是偶数的充要条件是这两个自然数的奇偶性相同。

证明第二个命题：假设两个自然数a和b的奇偶性相同。如果a和b都是偶数，

那么存在整数m和n，使得a=2m，b=2n。那么a+b=2m+2n=2(m+n)，即

a+b是偶数。同理，如果a和b都是奇数，那么存在整数m和n，使得

a=2m+1，b=2n+1。那么a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)，即a+b是偶数。

综上所述，如果这两个自然数的奇偶性相同，它们之和是偶数。因此，两个自

然数之和是偶数的充要条件是这两个自然数的奇偶性相同。

通过以上证明，我们可以得出结论：任意两个自然数之和是偶数的充要条件是

这两个自然数的奇偶性相同。

在离散数学的学习过程中，习题的解答是巩固知识的重要环节。通过解答习题，

我们不仅可以加深对知识点的理解，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。希

望以上的习题答案对大家的学习有所帮助，也希望大家能够在学习中勤思考、

勤动手，不断提升自己的数学素养。