2025届北京市第五十中学高三上学期期中检测数学试卷.docVIP

2025届北京市第五十中学高三上学期期中检测数学试卷

一、单选题

(★★)1.在复平面内，复数满足，则的虚部为（）

A．

B．

C．3

D．

(★)2.已知集合，则集合（）

A．

B．

C．

D．

(★)3.函数，，，且的最小值为，则的值为（）

A．

B．1

C．2

D．3

(★★)4.已知向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件

(★★)5.在中，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.记为数列的前项和．若，则（）

A．有最大项，有最大项

B．有最大项，有最小项

C．有最小项，有最大项

D．有最小项，有最小项

(★★)7.在等腰梯形中，.M为的中点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)9.点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)10.已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

(★★)11.二项式的展开式中常数项为__________.(用数字作答)

(★)12.函数的定义域是_________．

(★★)13.已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___．

(★★★)14.已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．

(★★★★)15.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：

①D1O⊥AC；

②存在一点P，D1O∥B1P；

③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；

④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.

其中所有正确结论的序号是_________________.

三、解答题

(★★★)16.在中，．

(1)若，求的面积：

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求．

条件①：；条件②：；条件③：．

(★★★)17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

(★★★)18.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：

“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况

频数

“一个”

6

“一些”

4

“一穷”

2

“一条”

2

其他

假设用频率估计概率.

(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；

(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；

(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）

(★★★)19.已知椭圆过点和.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.

(★★★)20.已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最大值与最小值；

(3)当时，求证：．

(★★★★★)21.对于数列，，，定义“变换