河北省定州市第二中学2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题（含答案解析）.docx

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河北省定州市第二中学2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．与向量同向的单位向量为（）

A． B． C． D．

2．已知直线与直线平行，则（）

A． B． C．或 D．或

3．在数列中，若，则下列数不是中的项的是（）

A． B． C． D．-2

4．已知圆与圆恰有三条公切线，则（）

A．15 B．17 C．21 D．23

5．设是等差数列的前项和，若，则（）

A．12 B．18 C．24 D．32

6．在三棱柱中，已知，且为平面上一点，则三棱柱的高为（）

A． B． C． D．

7．已知抛物线的焦点为为抛物线上一动点，点，记到轴的距离为，则的最小值为（）

A． B． C． D．

8．在棱长为1的正方体中，为正方体内一动点（包括表面），若，且，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

二、多选题

9．若点和点关于直线对称，则（）

A． B．

C． D．

10．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则下列说法正确的是（）

A．为定值 B．的渐近线方程为

C．为定值 D．

11．已知数列满足，，设数列的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（）

A．数列是等差数列 B．数列的最大项为

C．使得取得最小值的为7 D．有最小值，无最大值

三、填空题

12．在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则.

13．已知，则关于的不等式的解集为.

14．设是椭圆的两个焦点，为上一点.若为坐标原点，，且的面积等于8，则，a的取值范围为.

四、解答题

15．已知圆的圆心在直线上，且点，在上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求.

16．已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的方程：

(2)若，求直线的方程.

17．记等差数列的前项和为，.

(1)证明：数列是等差数列.

(2)若数列满足，且，求的通项公式.

18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点.

(1)证明：平面平面.

(2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由.

(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值.

19．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式：，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.

(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆.

(2)在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线.

（i）求曲线的方程；

（ii）已知，过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为证明：线段PQ的中点为定点.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

D

C

B

C

D

AC

BCD

题号

11

答案

ACD

1．A

【分析】先求出向量的模长，再结合向量同向的单位向量为，求解即可.

【详解】因为，所以，

所以与向量同向的单位向量为.

故选：.

2．D

【分析】由两直线平行的充要条件直接列式求解即可.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，解得或.

故选：D.

3．A

【分析】由和，依次求出，即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，，，，

所以数列是以4为周期的数列，故不是中的项.

故选：A.

4．D

【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，再把两圆的位置关系转化为圆心距与半径和差的数量关系求参数的值.

【详解】圆，圆心为，半径为，

圆可化为，圆心为，半径为，，

若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，

则，即，解得.

故选：D.

5．C

【分析】利用等差数列的性质可得，再结合等差数列前项和的公式即可求解.

【详解】由，则，

由数列为等差数列，，故，

又，

故选：C.

6．B

【分析】利用向量法求点到平面的距离，即为三棱柱的高.

【详解】由，

则，

设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，所以，

令，则，，所以是平面