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湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．复数的共轭复数是()

A. B. C. D.

2．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()

A. B. C. D.

3．已知椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点，则()

A.1 B.2 C.3 D.4

4．“”是“直线与直线平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5．如图，在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则()

A.

B.

C.

D.

6．已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A、B两点，若，则双曲线E的离心率的取值范围是()

A. B. C. D.

7．已知圆，直线，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则()

A. B. C. D.

8．双曲线（，）的左、右焦点分别为,，P是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．已知圆，圆，则下列结论正确的是()

A.若和外离，则或

B.若和外切，则

C.当时，和内含

D.当时，有且仅有一条直线与和均相切

10．已知曲线C的方程为，则()

A.当时，曲线C为圆

B.当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为

C.当时，曲线C可能为焦点在x轴上的椭圆

D.当时，曲线C为双曲线，其焦距为

11．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则()

A.当P为底面的中心时，

B.当时，长度的最小值为

C.当时，长度的最大值为6

D.当时，为定值

三、填空题

12．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是____.

13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为____.

14．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形面积的最大值为____.

四、解答题

15．已知顶点、、.

(1)求边的垂直平分线的方程；

(2)若直线过点B，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.

16．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局.

(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率；

(2)求甲校以3:1获胜的概率.

17．在中，，，，D，E分别是，上的点，满足且D点是边靠近C点的三等分点，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示：

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的余弦值.

18．在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点，并且圆心在x轴上，圆C与x轴正半轴的交点为P.

(1)求圆C的标准方程；

(2)设为圆C的动弦，且不经过点P，记、分别为弦、的斜率.

(ⅰ)若，求面积的最大值；

(ⅱ)若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

19．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点，且短轴的一个端点与焦点的连线与y轴所成角的正弦值等于.

(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；

(2)若斜率为2的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）；

(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.

参考答案

1．答案：C

解析：，共轭复数为：.

故选：C

2．答案：D

解析：直线斜率，

又因为直线倾斜角的范围是，所以直线倾斜角为.

故选：D

3．答案：B

解析：由椭圆，可得椭圆的焦点为，

因为椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形，

所以椭圆的两个焦点在y轴上，

所以椭圆的焦点为，

所以，解得.

故选：B.

4．答案：C

解析：当时且，

解得，

当时，两条直线方程分别为：，，

此时，

故是的充要条件.

故选：C

5．答案：B

解析：记的中点为D，

由正四面体的性质可知，H为正的重心，

所以

所以

.

故选：B

6．答案：C

解析：焦点到渐近线

即的距离，

所以，

因为，即，

所以.

解得，即，

又因为双曲线中，

所以.

故选：C

7．答案：A

解析