承德实验中学高中数学四导学案：平面向量的数量积.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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承德实验中学高一年级数学导学案

班级：；小组：；姓名：；评价：

课题

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

课型

新授课

课时

1

主备人

敖莉

审核人

韩宝利

时间

学习目标

会进行平面向量数量积的模和夹角公式的运算

重点难点

平面向量数量积的模和夹角公式的运算

方法

自主探究

一、探知部分:

1．向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ,则把数量________叫做a与b的数量积（或内积）,记作a·b，即______________．

规定零向量与任一向量的数量积均为0.

2．向量的数量积的几何意义

(1)投影的概念

如图所示,eq\o（OA,\s\up14（→)）＝a，eq\o（OB，\s\up14（→))＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1,则OB1＝________.

________叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．

（2）数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积．

3．向量的数量积的性质

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．

（1）a⊥b?________.

(2）当a与b同向时，a·b＝________;

当a与b反向时，a·b＝________.

(3)a·a＝________或|a｜＝eq\r（a·a)＝eq\r（a2)。

(4）cosθ＝________。

（5）|a·b|________|a|｜b｜。

4．向量数量积的运算律

已知向量a，b,c与实数λ,则

交换律

a·b＝________

结合律

（λa)·b＝________

分配律

c·(b＋a)＝________

二、探究部分:

探究1。已知|a|＝3，｜b｜＝4，分别计算:

（1）a∥b;(2)a⊥b；(3)a与b夹角为120°时，a·b的值．

探究2。已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．

探究3.已知向量a与b的夹角为120°，且|a｜＝4,｜b|＝2，

求|3a－4b｜.

课堂小结:

三、应用部分：

1.已知|a|＝3，｜b｜＝4，分别计算：

(1）a∥b;(2)a⊥b；（3）a与b夹角为120°时，a·b的值。

2.已知向量a，b，其中｜a|＝eq\r（2），|b|＝2,且（a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是（）

A.eq\f（π，6)B.eq\f（π，4)C.eq\f（π，3)D。eq\f(5π，12）

3．已知｜a|＝1，|b｜＝4，(a－b）·（a＋2b)＝－29,则a与b的夹角θ＝________。

4。已知向量a，b的夹角为120°,|a|＝｜b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c｜的最小值为（)

A．1B。eq\f（1，2）C.eq\f(3,4）D.eq\f(\r(3),2）

四、巩固部分

1．若非零向量a，b满足|a|＝｜b｜，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()

A．30°B．60°C．120°D．150°

2.设a，b，c是三个向量,有下列命题:

①若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；

②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；

③设a，b都是非零向量，a,b反向?a·b＝－｜a|｜b|;

④（3a＋2b）·(3a－2b)＝9｜a|2－4｜b|2.

其中正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．已知向量a,b夹角为45°,且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r（10)，则|b|＝________。

4．已知｜a|＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，试问：当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？

课堂

随笔