专题17函数与圆综合问题-【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.pdfVIP

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题17函数与圆综合问题

经典例题

2

【例1】如图，抛物线y＝ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明

理由；

（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的

取值范围．

2

【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax+bx+2即可求解析式；

（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，

HP＝BH＝2﹣x，Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝

，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；

（3）当M点B点处时，N点F（0，﹣4）处，当M点O点处时，N点E（2，0）处，∠EOF＝

90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO，O（1，﹣2），NA有最大

值和最小值，OA＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣

≤NA≤2+．

2

【解析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax+bx+2，得

，

解得，

2

∴y＝﹣x+x+2；

（2）过点P作PH⊥BC交于点H，

设P（0，t），CH＝x，

∵C（0，2），B（4，0），

∴BC＝2，

∴BH＝2﹣x，

∵∠OBP+∠OBC＝45°，

∴∠CBP＝45°，

∴HP＝BH＝2﹣x，

Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，

Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，

∴＝，＝，

∴x＝，t＝﹣，

∴P（0，﹣），

P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，

∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；

（3）当M点B点处时，N点F（0，﹣4）处，当M点C点处时，N点E（2，0）处，

∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO，

当NA经过圆心O时，NA有最大值和最小值，

∴O（1，﹣2），

∵A（﹣1，0），

∴OA＝2，

∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，

∴2﹣≤NA≤2+．

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【例2】如图1：抛物线y＝﹣x+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）

（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式及C点坐标；

（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．

（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交