专题31 对角互补模型（解析版）.pdf

模块二常见模型专练

专题31对角互补模型

例1（2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互

补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN

恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数

为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【详解】

如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∠PFO=90°，

∴∠EPF+∠AOB=180°，

∵∠MPN+∠AOB=180°，

∴∠EPF=∠MPN，

∴∠EPM=∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE=PF，

△POE和△POF中，

OP=OP

ì

í

PE=PF

î

∴△POE≌△POF，

∴OE=OF，

△PEM和△PFN中，

ìÐMPE=ÐNPF

ï

íPE=PF

ï

ÐPEM=ÐPFN

î

∴△PEM≌△PFN，

∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，

∴S△PEM=S△PNF，

∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，

∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确，

MN的长度是变化的，故（4）错误，

故选：B．

例2（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用

上述结论进行探究．

提出问题：

1ACBABBCCDABC

如图，在线段同侧有两点，D，连接AD，，，，如果ÐB=ÐD，那么，，，D

四点在同一个圆上．

探究展示：

2ACeOACACAECE

如图，作经过点，，D的，在劣弧上取一点E（不与，重合），连接，则

ÐAEC+ÐD=180°1

（依据）

QÐB=ÐD

\ÐAEC+ÐB=180°

\ABC

点，，，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

\BACeO2

点，在点，，所确定的上（依据）

DE

\ABC

点，，，E四点在同一个圆上

(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：__________；依据2：__________．

(2)3ABCDÐ3=45°__________

图，在四边形中，Ð1=Ð2，，则Ð4的度数为．

(3)4VABCAB=ACBCBC

拓展探究：如图，已知是等腰三角形，，点D上（不与的中点重合），连接

CAE

AD．作点关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接，DE．

①A